广东省深圳市联盟校2023-2024学年高一上学期数学11月期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9}$ ， $M = {1 ， 3 ， 5 ， 6}$ ， $N = {1 ， 2 ， 4 ， 7 ， 9}$ ，则 $M ∪ (C_{U} N)$ 等于（）

A、 ${3 ， 5 ， 8}$ B、 ${1 ， 3 ， 5 ， 6 ， 8}$ C、 ${1 ， 3 ， 5 ， 8}$ D、 ${1 ， 5 ， 6 ， 8}$

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2. 命题 $p$ ： $\exists x > 0$ ， $x^{2} + 3 x + 1 < 0$ 的否定是（）

A、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} + 3 x + 1 \geq 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} + 3 x + 1 \geq 0$ C、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} + 3 x + 1 \geq 0$ D、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} + 3 x + 1 \geq 0$

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3. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{x}$ 的定义域为（）

A、 $x ∈ R$ B、 $[- 3 ， + ∞)$ C、 $[0 ， + ∞)$ D、 $[- 3 ， 0) \cup (0 ， + \infty)$

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4. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，若 $a < b < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a < 2 b$ B、 $a b < b^{2}$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $a^{2} > a b$

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5. 高为 $H$ 、满缸水量为 $V$ 的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 $h$ 时水的体积为 $v$ ，则函数 $v = f (h)$ 的大致图像是

A、 B、 C、 D、

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6. 若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - a x > - 1$ 的解集是全体实数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $0 \leq a < 4$ B、 $- 4 < a < 0$ C、 $a \leq 0$ 或 $a > 4$ D、 $a < - 4$ 或 $a \geq 0$

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7. 下列函数最小值为4的是（）

A、 $y = x + \frac{4}{x} (x < 0)$ B、 $y = x + \frac{1}{x - 2} (x > 2)$ C、 $y = \frac{x^{2} + 10}{\sqrt{x^{2} + 6}}$ D、 $y = x + \frac{9}{x} - 2$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，在区间 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减，且 $f (- 2) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} < 0$ 的解集为（）

A、 ${x | x < - 2$ 或 $x > - 2}$ B、 ${x | - 2 < x < 0$ 或 $0 < x < 2}$ C、 ${x | x < - 2$ 或 $0 < x < 2}$ D、 ${x | - 2 < x < 0$ 或 $x > 2}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 命题“ $\forall 1 \leq x \leq 2$ ， $x^{2} - 2 a \leq 0$ ”是真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a \geq 3$ C、 $a \geq 4$ D、 $a \leq 4$

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10. 下列各项中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = | x |$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = x$ ， $g (x) = (\sqrt{x})^{2}$ C、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ D、 $f (x) = | x - 1 |$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} x - 1 (x \geq 1) \\ 1 - x (x < 1) \end{array}$

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11. 在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率 $π$ 准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率 $π$ 小数点后第n位上的数字为y，下列结论正确的是（）

A、y不是n的函数 B、y是n的函数，且该函数定义域为 $N^{*}$ C、y是n的函数，且该函数值域为 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9}$ D、y是n的函数，且该函数在定义域内不单调

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12. 对于集合 $A$ ， $B$ ，定义集合运算 $A - B = {x | x \in A 且 x \notin B}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $(A - B) \cap (B - A) = \emptyset$ B、 $(A - B) \cup (B - A) = (A \cup B) - (A \cap B)$ C、若 $A = B$ ，则 $A - B = \emptyset$ D、若 $A \subseteq$ $B$ ，则 $B - A = \emptyset$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 1) = \frac{x}{x - 1}$ ，则 $f (2) =$ .

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14. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{\frac{1}{m}}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的值为．

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15. 若关于 $x$ 的方程 $| x^{2} - 1 | = a$ 有两个不相等的实数解，则实数 $a$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a + | x - 2 | ， x \leq 1 \\ x^{2} - 2 a x + 2 a ， x > 1 \end{array}$ 且 $f (x) \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，则实数a的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x < 4} ， B = {x | x - a < 0}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 设集合 $U = R ， A = {x | 0 \leq x \leq 3} ， B = {x | m - 1 \leq x \leq m + 1}$ .

(1)、若 $m = 3$ ，求 $A ∩ (∁_{U} B)$ ；

(2)、若“ $x ∈ B$ ”是“ $x ∈ A$ ”的充分不必要条件，求 $m$ 的取值范围.

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19. 已知 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ .

(1)、求 $f (1) ， f (- 2)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、画出 $y = f (x)$ 的简图；写出 $y = f (x)$ 的单调区间（只需写出结果，不要解答过程）.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ （ $a$ ， $b \in R$ ），且 $f (1) = \frac{1}{2}$ ， $f (2) = \frac{2}{5}$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ ；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上的单调性，并根据定义证明.

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21. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为 $x m$ ，宽为 $y m$ .

(1)、若菜园面积为 $72 m^{2}$ ，则 $x ， y$ 为何值时，可使所用篱笆总长最小？

(2)、若使用的篱笆总长度为 $30 m$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值.

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22. 若函数 $f (x) = a x^{2} - (2 a + 1) x + 2$ .

(1)、讨论 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $a = 1$ 时，总 $\exists x \in [\frac{1}{3} ， 1]$ ，对 $\forall m \in [1 ， 4]$ ，使得 $f (\frac{1}{x}) + \frac{3 - 2 m}{x} \leq b^{2} - 2 b - 2$ 恒成立，求实数b的取值范围.

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