广东省深圳市宝安区2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 若复数 $(a + i) (1 - a i) = - 2$ ， $a \in R$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

查看试题解析
2. 已知直线 $l_{1} ： x + a y - 1 = 0$ 与 $l_{2} ： 2 x - y + 1 = 0$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
3. 若向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， 4)$ 在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为（）

A、1 B、2 C、－1 D、－2

查看试题解析
4. 设 $a = s i n 2 ， b = l o g_{3} a ， c = 4^{a}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

查看试题解析
5. 如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且 $| A B | = 2$ ， P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q ，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（）

A、圆 B、射线 C、长轴为4的椭圆 D、长轴为2的椭圆

查看试题解析
6. 由曲线 $x^{2} + y^{2} = 2 | x | + 2 y$ 围成的图形的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $2 π + 3$ D、 $3 π + 2$

查看试题解析
7. 若 $a > 1$ ，设函数 $f (x) = a^{x} + x - 2$ 的零点为 $m$ ， $g (x) = l o g_{a} x + x - 2$ 的零点为 $n$ ，则（）

A、 $m + n < 2$ B、 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} > 2$ C、 $m n > 1$ D、 $m^{2} + n^{2} < 2$

查看试题解析
8. 已知点 $P$ 是圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 3 = 0$ 的动点，直线 $l ： x - y - 3 = 0$ 上存在两点 $A ， B$ ，使得 $∠ A P B \geq \frac{π}{2}$ 恒成立，则线段 $A B$ 长度的最小值是（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{21}$

查看试题解析

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

9. 有一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{8}$ ，其中 $x_{1}$ 是最小值， $x_{8}$ 是最大值，则（）

A、 $x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5} ， x_{6} ， x_{7}$ 的平均数等于 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{8}$ 的平均数 B、 $x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5} ， x_{6} ， x_{7}$ 的中位数等于 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{8}$ 的中位数 C、 $x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5} ， x_{6} ， x_{7}$ 的标准差不小于 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{8}$ 的标准差 D、 $x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5} ， x_{6} ， x_{7}$ 的极差不大于 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{8}$ 的极差

查看试题解析
10. 已知点 $P$ 在圆 $C ： (x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 16$ 上，点 $A (4 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，则（）

A、 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 20$ B、点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离大于2 C、点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离小于10 D、当 $| P B | = 3 \sqrt{2}$ 时， $∠ P B A$ 最大

查看试题解析
11. 设点 $A$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的坐标分别为 $(- 1 ， 1)$ ， $(- 1 ， 0)$ ， $(1 ， 0)$ ，动点 $P (x ， y)$ 满足： $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = 4$ ，给出下列四个命题：
①点 $P$ 的轨迹方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ；② $| P A | + | P F_{2} | < 5$ ；
③存在4个点 $P$ ，使得 $△ P A F_{1}$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ；④ $| P A | + | P F_{1} | > 1$ .
则正确命题的有（）

A、① B、② C、③ D、④

查看试题解析
12. 在四面体 $A B C D$ 中（如图），平面 $A B D ⊥$ 平面 $A C D$ ， $△ A B D$ 是等边三角形， $A D = C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， M为AB的中点，N在侧面 $B C D$ 上（包含边界），若 $\vec{M N} = x \vec{A B} + y \vec{A C} + z \vec{A D}$ ，（x ， y ， $z \in R$ ），则（）

A、若 $x = \frac{1}{2}$ ，则 $M N / /$ 平面ACD B、当 $| M N |$ 最小时， $x = \frac{1}{4}$ C、若 $y = 0$ ，则 $M N ⊥ C D$ D、当 $| M N |$ 最大时， $x = - \frac{1}{2}$

查看试题解析

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若方程 $\frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{3 - m} = 1$ 表示椭圆，则 $m$ 的取值范围是．

查看试题解析
14. 在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $∠ B A D = ∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $A D = 2$ ， $A A^{'} = 3$ ，则 $A C'$ = ．

查看试题解析
15. 已知点 $P (- 2 ， - 3)$ 和以点Q为圆心的圆 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ ．以 $P Q$ 为直径的圆的圆心为点 $Q^{'}$ ，设圆Q与圆 $Q^{'}$ 相交于A ， B两点，则直线PA或PB的方程为．（写出其中之一即可）

查看试题解析
16. 如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是；若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，则|AP|的取值范围是.

查看试题解析

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $a c o s B = (3 c - b) c o s A$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{2}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

查看试题解析
18. 已知直线l： $(2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0 (m \in R)$ 和圆C： $x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 5 = 0$ ．

(1)、直线l恒过一定点M ，求出点M坐标；

(2)、当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短，求出弦长．

查看试题解析
19. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形， $A D ∥ B C$ ， $A F ∥ B E$ ， $D A ⊥$ 平面ABEF ， $A B ⊥ A F$ ， AD=AB=2BC=2BE=2.

(1)、已知点G为AF上一点，AG=AD ，求证：BG与平面DCE不平行；

(2)、已知点F到平面DCE的距离为 $\frac{4}{3}$ ，求平面FDE与平面CDE的夹角的余弦值.

查看试题解析
20.

(1)、证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．
已知：如图， $a ， b \subset α$ ， $a ∩ b = P$ ， $l ⊥ a$ ， $l ⊥ b$ ．
求证： $l ⊥ α$ ．

(2)、证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形.求证： $| A C |^{2} + | B D |^{2} = 2 (| A B |^{2} + | A D |^{2})$

查看试题解析
21. 已知半径为 $\frac{8}{3}$ 的圆C的圆心在 $y$ 轴的正半轴上，且直线 $12 x - 9 y - 1 = 0$ 与圆 $C$ 相切．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程．

(2)、已知 $A (0 ， - 1)$ ， $P$ 为圆 $C$ 上任意一点，试问在 $y$ 轴上是否存在定点 $B$ （异于点 $A$ ），使得 $\frac{| P B |}{| P A |}$ 为定值？若存在，求点 $B$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、在（2）的条件下，若点 $D (4 ， 6)$ ，试求 $\frac{1}{2} | P A | + | P D |$ 的最小值.

查看试题解析
22. 马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图， $D$ 为棚顶， $O$ 是棚底地面的中心， $A E$ 为棚底直径， $A E = A D$ ， $△ A B C$ 是棚底的内接正三角形，中间的支柱 $D O = 18$ 米，从支柱上的 $P$ 点向棚底周围拉了4根绳子 $P A 、 P B 、 P C 、 P E$ 供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从 $E$ 点沿着绳子 $P E$ 爬到 $P$ 点，再沿着 $P D$ 爬到棚顶，然后从棚顶跳到 $P A 、 P B 、 P C$ 中的某一根绳子上.

(1)、当 $P$ 点取在距离 $O$ 点 $3 \sqrt{6}$ 米处时，证明：拉绳 $P A$ 所在直线和平面 $P B C$ 垂直；

(2)、经验表明当拉绳 $P E$ 所在直线和平面 $P B C$ 所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把 $P$ 点取在什么位置.

查看试题解析