广东省深圳市名校联考2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分）

1. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} + a_{8} = 20$ ， $a_{7} = 12$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、8

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2. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{5} = 2$ ， $a_{3} a_{8} = a_{7}$ ，则 ${a_{n}}$ 的公比 $q =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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3. 已知两条直线 $l_{1}$ ： $3 x + y - 5 = 0$ 和 $l_{2}$ ： $x - a y = 0$ 相互垂直，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- 3$ D、3

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4. 已知椭圆C的一个焦点为 $(1 ， 0)$ ，且过点 $(0 ， \sqrt{3})$ ，则椭圆C的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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5. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $3 a_{2} a_{4} = 4 a_{3}$ ，且 $a_{6} = 2 a_{5}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前6项和为（）

A、22 B、24 C、21 D、27

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6. 已知F是双曲线C： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的一个焦点，点P在C的渐近线上，O是坐标原点， $| O F | = 2 | P F |$ ，则△OPF的面积为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ 、 $F_{2} (c ， 0)$ ，若椭圆C上存在一点P ，使得 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的半径为 $\frac{c}{2}$ ，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{3}{5}]$ B、 $(0 ， \frac{4}{5}]$ C、 $[\frac{3}{5} ， 1)$ D、 $[\frac{4}{5} ， 1)$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0 ， b)$ ，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $| P B | \geq b$ ，则 $C$ 的离心率取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{\sqrt{5} + 1}{2}]$ B、 $[\frac{\sqrt{5} + 1}{2} ， + ∞)$ C、 $(1 ， \sqrt{2}]$ D、 $[\sqrt{2} ， + \infty)$

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二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）

9. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = 1$ ，则（）

A、 $a_{2} + a_{8} = 2$ B、 $a_{3} a_{7} = 1$ C、 $S_{9} = 9$ D、 $S_{10} = 10$

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10. 已知圆M： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $(4 ， 0)$ 在随M内 B、圆M关于 $x + 3 y - 2 = 0$ 对称 C、半径为 $\sqrt{3}$ D、直线 $x - \sqrt{3} y = 0$ 与圆M相切

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点为F ，过点F且斜率为k（ $k \neq 0$ ）的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D ．若 $| A B | ≥ \sqrt{2} | D F |$ ，则双曲线的离心率的值可能是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ （ $n ≥ 3$ ），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以 $a_{n}$ 为边长的正方形中的扇形面积为 $b_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．则下列说法正确的是（）：

A、 $a_{8} = 21$ B、 $a_{2023}$ 是奇数 C、 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + ⋯ + a_{2022} = a_{2023}$ D、 $\frac{s_{2023}}{a_{2023} \cdot a_{2024}} = \frac{π}{4}$

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三、填空题（共4小题，每空5分，共20分）

13. 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ ，若 $S_{n} = 9$ ，则 $n =$ ．

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14. 已知直线l： $y = x$ 被圆C： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）截得的弦长为2，则 $r =$ ．

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15. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右两焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，其中 $| F_{1} F_{2} | = 2 c$ ．椭圆C上存在一点A ，满足 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{A F_{2}} = 4 c^{2}$ ，则椭圆的离心率的取值范围是．

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16. 已知A ， B分别是椭圆E： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右顶点，C ， D是椭圆上异于A ， B的两点，若直线AC ， BD的斜率 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 满足 $k_{1} = 2 k_{2}$ ，则直线CD过定点，定点坐标为．

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四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）

17. 在平面直角坐标系xOy中，圆 $C_{1}$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10$ 相交于P ， Q两点．

(1)、求线段PQ的长；

(2)、记圆 $C_{1}$ 与x轴正半轴交于点M ，点N在圆 $C_{2}$ 上滑动，求 $Δ M N C_{2}$ 面积最大时的直线MN的方程．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3$ ， ${b_{n}}$ 为等比数列，且 $b_{1} = 1$ ， $b_{n} > 0$ ， $b_{2} + S_{2} = 10$ ， $S_{5} = 5 b_{3} + 3 a_{2}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 已知半径为3的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线 $4 x - 3 y + 7 = 0$ 相切．

(1)、求圆的方程；

(2)、设直线 $a x - y + 4 - 2 a = 0$ 与圆相交于A ， B两点，求实数a的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB的垂直平分线l过点 $P (3 ， - 1)$ ？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，圆 $O_{1}$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $O_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $H (1 ， 0)$ ，一动圆M与圆 $O_{1}$ 内切、与圆 $O_{2}$ 外切．

(1)、求动圆圆心M的轨迹方程E；

(2)、是否存在一条过定点的动直线l ，与（1）中的轨迹E交于A、B两点，并且满足HA⊥HB？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．

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21. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{4} = 4$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项之积为 $T_{n}$ ， $b_{1} = \frac{1}{3}$ ，且 $S_{n} = l o g_{\sqrt{3}} (T_{n})$ ．

(1)、求 $T_{n}$ ；

(2)、令 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，求正整数n ，使得“ $c_{n - 1} = c_{n} + c_{n + 1}$ ”与“ $c_{n}$ 是 $c_{n - 1}$ ， $c_{n + 1}$ 的等差中项”同时成立；

(3)、设 $d_{n} = 2 a_{n} + 7$ ， $e_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} (d_{n} + 2)}{d_{n} d_{n + 1}}$ ，求数列 ${e_{n}}$ 的前2n项和 $Y_{2 n}$ ．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{3}$ ， P为椭圆C上异于长轴端点的一个动点，O为坐标原点，直线 $P F_{1}$ ， PO ， $P F_{2}$ 分别与椭圆C交于另外三点M ， Q ， N ，当P为椭圆上顶点时，有 $\vec{P F_{1}} = 2 \vec{F_{1} M}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、求 $\frac{s_{Δ P O F_{1}}}{s_{Δ P Q M}} + \frac{s_{Δ P O F_{2}}}{s_{Δ P Q N}}$ 的最大值。

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