江苏省常熟市2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{5} + a_{8} = 18$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、36 B、45 C、54 D、63

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2. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的圆心到直线 $2 x + y - 1 = 0$ 的距离为（）

A、0 B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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3. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}$ ， $S_{n} = 8$ ，则 $n =$ （）

A、77 B、78 C、79 D、80

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4. 直线 $l_{1} ： a x + 3 y + a^{2} - 5 = 0$ ， $l_{2} ： x + (a - 2) y + 4 = 0$ ，若两条直线平行，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、3 D、 $- 1$ 或3

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5. 若直线 $l ： k x - y - 1 = 0$ 与曲线 $C ： \sqrt{1 - (y - 1)^{2}} = x - 1$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{4} ， 1]$ B、 $(\frac{3}{4} ， 3)$ C、 $[- 1 ， - \frac{3}{4}] ∪ (\frac{3}{4} ， 1]$ D、 $(\frac{3}{4} ， + \infty)$

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6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知 $△ A B C$ 的顶点为 $A (0 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ ， $C (2 ， 4)$ ，则该三角形的欧拉线方程为（）

A、 $x + 2 y - 5 = 0$ B、 $3 x - 6 y + 1 = 0$ C、 $2 x + y - 10 = 0$ D、 $2 x - y - 10 = 0$

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7. 已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + 2 a_{n - 2} + 1$ （ $n ≥ 3$ ， $n \in N^{*}$ ）， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则 $S_{60} =$ （）

A、 $2^{30} - 31$ B、 $4^{30} - 31$ C、 $2^{30} - 30$ D、 $4^{30} - 30$

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8. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，点 $M$ 在以 $C$ 为圆心，1为半径的圆上，则 $2 | M B | + | M D |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ D、 $\sqrt{17}$

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二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是（）

A、直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $120 °$ B、经过点 $P (2 ， 1)$ ，且在 $x$ ， $y$ 轴上截距互为相反数的直线方程为 $x - y - 1 = 0$ C、直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 与直线 $2 x + 4 y + 1 = 0$ 之间的距离是 $\frac{9 \sqrt{5}}{10}$ D、直线 $l_{1} ： a x + 2 a y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： (a - 1) x - (a + 1) y - 4 = 0$ ， $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = - 3$

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10. 下列命题中，正确的有（）

A、数列 ${a_{n}}$ 中，“ $a_{n} = 2 a_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ）”是“ ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列”的必要不充分条件 B、数列 ${a_{n}}$ 的通项为 $a_{n} = 2 n^{2} + λ n$ ，若 ${a_{n}}$ 为单调递增数列，则 $λ ≥ - 4$ C、等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2}$ ， $a_{10}$ 是方程 $x^{2} - 8 x + 4 = 0$ 的两根，则 $a_{6} = \pm 2$ D、等差数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{5}}{T_{7}} = \frac{15}{13}$ ，则 $\frac{a_{3}}{b_{4}} = \frac{21}{13}$

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11. 已知圆 $M ： (x + 1)^{2} + y^{2} = 2$ 与直线 $l ： x - y - 3 = 0$ ，点 $P$ 在直线 $l$ 上运动，直线 $P A$ ， $P B$ 分别与圆 $M$ 切于点 $A$ ， $B$ ，则下列说法正确的是（）

A、四边形 $P A M B$ 的面积最小值为 $2 \sqrt{3}$ B、 $| P A |$ 最短时，弦 $A B$ 长为 $\sqrt{3}$ C、 $| P A |$ 最短时，弦 $A B$ 直线方程为 $x - y = 0$ D、直线 $A B$ 过定点 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2})$

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12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列 ${a_{n}}$ 称为斐波那契数列，现将 ${a_{n}}$ 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为 ${b_{n}}$ ，则（）

A、 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + ⋯ + b_{2022} = 2697$ B、 $b_{2002} = 3$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{2002} = a_{2004} - 1$ D、 $a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + ⋯ + a_{2002}^{2} = a_{2002} a_{2003} - a_{1} a_{2}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 过点 $P (- 1 ， 1)$ ， $Q (1 ， 3)$ ，圆心在直线 $y = x$ 上的圆的标准方程为．

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14. 点 $A (1 ， 2)$ 关于直线 $l ： x + 2 y - 1 = 0$ 的对称点的坐标为．

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15. 设 $m \in R$ ，过定点 $A$ 的动直线 $x + m y + 2 = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x - y - 2 m + 3 = 0$ 交于点 $P (x ， y)$ ，则 $| P A | \cdot | P B |$ 的最大值为．

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16. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2^{n + 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = l o g_{2} \frac{a_{n}}{n + 1}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ．则使不等式 $(1 + \frac{1}{b_{2}}) \cdot (1 + \frac{1}{b_{4}}) ⋯ \cdot (1 + \frac{1}{b_{2 n}}) > m \cdot \sqrt{b_{2 n + 2}}$ 对任意正整数 $n$ 都成立的最大实数 $m$ 的值为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在 $△ A B C$ 中，点 $C$ 的坐标为 $(4 ， - 1)$ ， $B C$ 边上的中线所在直线的方程为 $3 x - y - 1 = 0$ ，直线 $A C$ 的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ．

(1)、求点 $A$ 的坐标；

(2)、过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴的正半轴、 $y$ 轴的正半轴分别交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ M O N$ （ $O$ 为坐标原点）面积的最小值．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 a_{5} = a_{2} + 14$ ， $S_{9} = 72$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， n 为奇数 \\ 2^{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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19. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (2 ， 0)$ ， $B (2 ， 4)$ ， $C (4 ， 2)$ ，直线 $l$ 经过点 $D (1 ， 4)$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆 $M$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $P Q = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ，且 $S_{3} + S_{5} = 50$ ， $a_{1}$ ， $a_{4}$ ， $a_{13}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ 是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；
②若不等式 $λ T_{n} - S_{n} + 2 n^{2} \leq 0$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的最大值．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $A_{n}$ ，且 $A_{n} = \frac{n (a_{1} + a_{n})}{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，它的前 $n$ 项和记为 $B_{n}$ ．若 $a_{1} = b_{1} \neq 0$ ，且存在不小于3的正整数 $m$ ， $k$ ，使得 $a_{k} = b_{m}$ ．

(1)、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 5$ ，求 $a_{2}$ 的值；

(2)、求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(3)、若 $q = 2$ ，是否存在正整数 $m$ ， $k$ ，使得 $A_{k} = 65 B_{m}$ ？若存在，求出 $m$ ， $k$ 的值；若不存在，请说明理由．

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22. 已知线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标是 $(6 ， 4)$ ，端点 $A$ 的运动轨迹是曲线 $C$ ，线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程是 $(x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于两点 $E$ ， $F$ （异于原点 $O$ ）直线 $O E$ ， $O F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 5$ ，
①证明：直线 $l$ 过定点 $P$ ，并求出点 $P$ 的坐标；
②若 $B D ⊥ E F$ ， $D$ 为垂足，证明：存在定点 $Q$ ，使得 $| D Q |$ 为定值．

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