黑龙江省哈尔滨市香坊区2023-2024学年高三上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数 $z = \frac{1}{3 + 4 i}$ 的虚部是（）

A、 $- \frac{3}{25}$ B、 $- \frac{3}{25} i$ C、 $- \frac{4}{25}$ D、 $- \frac{4}{25} i$

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2. 若 a∈R ，则“ $a = 2$ ”是复数“ $z = a^{2} - 4 + (a + 2) i$ ”为纯虚数的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知集合 $A = {x | y = l o g_{2} (x - 2)}$ ， $B = {x | 2^{x} - 2 \geq 0}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 $[1 ， 2)$ C、 ${1 ， 2}$ D、 $[1 ， 2]$

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4. 若 $l o g_{2} a = 0.3$ ， $0 . 3^{b} = 2$ ， $c = 0 . 3^{2}$ ，则实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 之间有大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为2，且 $a_{1}$ 、 $a_{6}$ 、 $a_{5}$ 成等比数列，则 $S_{10} =$ （）

A、 $\frac{10}{3}$ B、5 C、 $\frac{20}{3}$ D、20

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6. 已知 $s i n α + c o s (π - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{8}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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7. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是线段 $A C$ 上一点，点 $P$ 是线段 $B D$ 上一点，且 $\vec{C D} = \vec{D A}$ ， $\vec{A P} = λ \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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8. 设 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $2 S_{3} = 7 a_{2}$ ，则 $\frac{S_{5}}{a_{2}} =$ （）

A、 $\frac{31}{2}$ B、 $\frac{31}{8}$ C、 $\frac{31}{2}$ 或 $\frac{15}{4}$ D、 $\frac{31}{2}$ 或 $\frac{31}{8}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} + 1 > 0$ ”的否定是“ $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} + 1 \leq 0$ ” B、幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{3 m - 4}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上为减函数，则 $m$ 的值为1 C、 $f (x) = \frac{x + 1}{x + 2}$ 图象关于点 $(- 2 ， - 1)$ 成中心对称 D、若 $x > 0$ ，则 $\frac{- x^{2} + x - 4}{x}$ 的最大值是 $- 3$

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10. 下列说法正确的是（）

A、若 $α$ 为第一象限角，则 $\frac{α}{2}$ 为第一或第三象限角 B、函数 $f (x) = s i n (x + φ + \frac{π}{4})$ 是偶函数，则 $φ$ 的一个可能值为 $\frac{3 π}{4}$ C、 $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $f (x) = 2 c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的一条对称轴 D、若扇形的圆心角为 $60 °$ ，半径为 $1 c m$ ，则该扇形的弧长为 $60 c m$

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11. 已知函数 $f (x)$ 对 $\forall x \in R$ 都有 $f (x + 2) = - f (x)$ ，且函数 $y = f (x - 1)$ 的图像关于点 $(1 ， 0)$ 对称，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (2022) = 0$ B、 $f (x)$ 在区间 $(3 ， 5)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数 D、函数 $y = f (x) - | l g x |$ 有6个零点

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12. 已知点O为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{A O} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ B、直线 $A O$ 必过 $B C$ 边的中点 C、 $S_{△ A O B} ： S_{△ A O C} = 3 ： 2$ D、若 $| \vec{O B} | = | \vec{O C} | = 1$ ，且 $\vec{O B} ⊥ \vec{O C}$ ，则 $| \vec{O A} | = \sqrt{13}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $P$ 均在正方形网格的格点上.若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ （ $λ$ ， $μ \in R$ ），则 $λ + 2 μ =$ .

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14. 已知定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足： $f (x) + f^{'} (x) > 0$ ， $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{e}}$ ，则 $f (x) > \frac{1}{e^{x}}$ 的解集为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = l n a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，其中 ${b_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{3} \cdot a_{1010} = e^{4}$ ，则 $b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{1012} =$ .

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16. 在锐角 $△ A B C$ 中角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，记 $\vec{m} = (\frac{1}{a} ， \frac{1}{b})$ ， $\vec{n} = (b ， a)$ ，若 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 6 c o s C$ ，则 $\frac{t a n C}{t a n A} + \frac{t a n C}{t a n B} =$ .

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + 2 c o s^{2} x - 1 (x \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调减区间以及在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{6}{5}$ ， $x_{0} \in [\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ ，求 $c o s 2 x_{0}$ 的值.

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18. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $B B_{1} = 2$ ， $E$ 为棱 $A A_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求平面 $B E C$ 与平面 $E C C_{1}$ 夹角的余弦值.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} + a_{2} + 3 a_{4} = 25$ ，且 $a_{3} + 2$ ， $a_{4}$ ， $a_{5} - 2$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \cdot \sqrt{3^{a_{n} + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 在 $△ A B C$ 中， $b = 2 \sqrt{3}$ ， $2 a - c = 2 b c o s C$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、求 $3 a + 2 c$ 的最大值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 满足： $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} + n - 3$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n} - 1}$ 是等比数列；

(2)、令 $c_{n} = l o g_{3} (a_{1} - 1) + l o g_{3} (a_{2} - 1) + ⋯ + l o g_{3} (a_{n} - 1)$ ，对任意 $n \in N^{*}$ ，是否存在正整数 $m$ ，使 $\frac{1}{c_{1}} + \frac{1}{c_{2}} + ⋯ + \frac{1}{c_{n}} \geq \frac{m}{3}$ 都成立？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a l n x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值，并求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $l n^{2} 2 + l n^{2} \frac{3}{2} + ⋯ + l n^{2} \frac{n + 1}{n} < \frac{n}{n + 1}$ .

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