黑龙江省哈尔滨市第三名校2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 抛物线 $y^{2} = - 8 x$ 的准线方程为（）

A、 $y = - 2$ B、 $x = - 4$ C、 $x = 2$ D、 $x = - 2$

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2. 双曲线 $9 x^{2} - 16 y^{2} = 144$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- \sqrt{7} ， 0) ， (\sqrt{7} ， 0)$ B、 $(0 ， - \sqrt{7}) ， (0 ， \sqrt{7})$ C、 $(- 5 ， 0) ， (5 ， 0)$ D、 $(0 ， - 5) ， (0 ， 5)$

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3. 若点 $P$ 到点 $(2 ， 0)$ 的距离比它到直线 $x + 3 = 0$ 的距离小1，则点 $P$ 的轨迹方程是（）

A、 $y^{2} = 8 x$ B、 $y^{2} = - 8 x$ C、 $x^{2} = 8 y$ D、 $x^{2} = - 8 y$

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4. 若直线 $l_{1} ： x + λ y + 9 = 0$ 与直线 $l_{2} ： (λ - 2) x + 3 y + 3 λ = 0$ 平行，则 $λ$ 的值为（）

A、3 B、 $- 1$ C、3或 $- 1$ D、2

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5. 如图，一抛物线型拱桥的拱顶 $O$ 比水面高2米，水面宽度 $| A B | = 12$ 米．水面下降1米后水面宽（）米

A、 $3 \sqrt{6}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{6}$ D、 $12 \sqrt{3}$

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6. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，直线 $l ： y = k x + 1$ ，若直线 $l$ 与双曲线 $E$ 的两个交点分别在双曲线的两支上，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $k > \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3} < k < \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $k < - \sqrt{3}$ 或 $k > \sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3} < k < \sqrt{3}$

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右焦点重合．斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 经过点 $F$ ，且与 $C$ 的交点为 $A ， B$ ．若 $| A F | = 2 | B F |$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，若曲线 $y = k | x + 1 | + 2$ 上存在四个点 $P_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ，过点 $P_{i}$ 作圆 $O$ 的两条切线， $A ， B$ 为切点，满足 $\vec{P_{i} A} \cdot \vec{P_{i} B} = \frac{3}{2}$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{4}{3} ， 0)$ B、 $(- \infty ， - \frac{4}{3})$ C、 $(- \frac{4}{3} ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{4}{3}) \cup (0 ， + \infty)$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知圆 $C_{1} ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，则（）

A、圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 内切 B、直线 $x = 1$ 是两圆的一条公切线 C、直线 $x = m y + 2$ 被圆 $C_{1}$ 截得的最短弦长为 $2 \sqrt{3}$ D、过点 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 作圆 $C_{2}$ 的切线有两条

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10. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 同时为椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0 ， b_{2} > 0)$ 的左右焦点，设椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 在第一象限内交于点 $M$ ，椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2} ， O$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{1}^{2} - b_{1}^{2} = a_{2}^{2} + b_{2}^{2}$ B、若 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $b_{1}^{2} = 3 b_{2}^{2}$ C、若 $| F_{1} F_{2} | = 2 | O M |$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}} = \frac{1}{3}$ D、若 $| M F_{1} | = 2 | M F_{2} |$ 则 $e_{2} \in (1 ， 2]$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 6 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M ， N$ 两个不同点，则下列结论正确的是（）

A、 $| M N |$ 的最小值是6 B、若点 $P (\frac{5}{2} ， 2)$ ，则 $| M F | + | M P |$ 的最小值是4 C、 $\frac{1}{| M F |} + \frac{1}{| N F |} = 3$ D、若 $| M F | \cdot | N F | = 18$ ，则直线 $M N$ 的斜率为 $\pm 1$

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12. 已知 $O$ 为坐标原点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点，直线 $l ： y = \frac{4}{3} x$ 与双曲线 $E$ 交于 $A ， B$ 两点， $\vec{F_{2} A} \cdot \vec{F_{2} B} = 0$ ． $M$ 为双曲线 $E$ 上异于 $A ， B$ 的点，且 $M A ， M B$ 与坐标轴不垂直，过 $F_{2}$ 作 $∠ F_{1} M F_{2}$ 平分线的垂线，垂足为 $N$ ，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $E$ 的离心率为 $2 \sqrt{5}$ B、双曲线 $E$ 的渐近线方程是 $y = \pm 2 x$ C、直线 $M A$ 与 $M B$ 的斜率之积为4 D、若 $| O N | = 1$ ，则 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为4

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．

13. 设点 $P$ 为圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$ 上一点，则点 $P$ 到直线 $3 x + 4 y + 5 = 0$ 距离的最小值为．

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14. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，点 $A_{1} ， A_{2}$ 为其长轴两端点，点 $P$ 为椭圆 $C$ 上异于 $A_{1} ， A_{2}$ 的一点，则直线 $P A_{1}$ 和 $P A_{2}$ 的斜率之积等于．

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15. 已知直线 $y = - x + 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相交于 $A ， B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点在直线 $l ： x - 4 y = 0$ 上，则此椭圆的离心率为．

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16. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $A$ ， $B$ 是抛物线上的两个动点，且满足 $\vec{A F} \cdot \vec{F B} = 0$ .设线段 $A B$ 的中点 $M$ 在 $l$ 上的投影为 $N$ ，则 $\frac{2 | M N |}{3 | A B |}$ 的最大值是.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知直线 $l ： k x - y + 1 + 2 k = 0 (k \in R) ， P (- 1 ， 1) ， Q (2 ， - 1)$ ．

(1)、若经过 $P ， Q$ 两点的直线与直线 $l$ 垂直，求此时直线 $l$ 的斜率；

(2)、 $k = 1$ 时，若点 $P$ 关于直线 $l$ 的对称点为点 $P^{'}$ ，求线段 $P^{'} Q$ 的长度．

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18. 已知半径为4的圆 $C$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的渐近线相切，且圆心 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、经过 $(8 ， 0)$ 点，且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{13}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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19. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (\frac{1}{8} ， m)$ 在抛物线上，且 $△ O A F$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2} p^{2}}{16}$ （ $O$ 为坐标原点）．

(1)、求抛物线的标准方程；

(2)、抛物线的准线与 $x$ 轴交于点 $T$ ，过点 $T$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $M ， N$ 两点，若以 $M N$ 为直径的圆过点 $F$ ，求直线 $l$ 的方程．

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20. 已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，两焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为6．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于两点 $A ， B$ ，求 $△ A B F_{1}$ 面积的取值范围．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + 2 y^{2} = 1$ 的焦点相同，且双曲线 $C$ 经过点 $P (1 ， 1)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $A ， B$ 为双曲线 $C$ 上异于点 $P$ 的两点，记直线 $P A ， P B$ 的斜率为 $k_{1} ， k_{2}$ ，若 $(k_{1} - 1) (k_{2} - 1) = 1$ ．求直线 $A B$ 恒过的定点．

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22. 有一个半径为 $4 \sqrt{2}$ 的圆形纸片，设纸片上一定点 $F$ 到纸片圆心 $E$ 的距离为 $2 \sqrt{6}$ ，将纸片折叠，使圆周上一点 $M$ 与点 $F$ 重合，以点 $F ， E$ 所在的直线为 $x$ 轴，线段 $E F$ 的中点 $O$ 为原点建立平面直角坐标系．记折痕与 $M E$ 的交点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、 $P$ 为曲线 $C$ 上第一象限内的一点，过点 $P$ 作圆 $M ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，分别交 $y$ 轴于 $D ， H$ 两点，且 $| D H | = \frac{3}{2}$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且直线 $P A ， P B$ 的倾斜角互补，判断直线 $A B$ 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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