黑龙江省哈尔滨市重点中学2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、单项选择题（共8小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | - 2 < x < 2}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(- 2 ， 1]$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 8 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 8 < 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 8 \leq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 8 < 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 4 x + 8 \leq 0$

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3. 若 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m}$ 是幂函数，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则m的值为（）

A、―1或2 B、1或―2 C、1 D、―1

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4. 中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x ，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式，函数 $f (x)$ 由下表给出，则 $f (f (3) - 2)$ 的值为（）
x x≤0 0＜x＜2 x≥2
y 1 2 3

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 函数 $f (x) = \frac{2 | x |}{2 x^{2} + 1}$ 的图像大致为：（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $a = 0 . 7^{0.5}$ ， $b = l o g_{0.5} \sqrt{2}$ ， $c = 0 . 5^{0.7}$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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7. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} {(a + 2)}^{x} ， x < 1 \\ x^{2} - 2 a x + 1 ， x \geq 1 \end{array}$ 在定义域内单调，则a的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0]$ C、 $(- 1 ， 1]$ D、 $[0 ， 1]$

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8. 已知函数 $f (x)$ 满足 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， + \infty)$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) > \sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}}$ 成立，且 $f (4) = 4$ ，则不等式 $f (2 x) < \sqrt{2 x} + 2$ 的解集为（）

A、 $[0 ， 2)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $[0 ， 4)$ D、 $(4 ， + \infty)$

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二、多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，下列四个对应关系能构成从A到B的函数的是（）

A、 $y = | x |$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = x + 1$ D、 $y = 2 x$

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10. 已知a、b均为正实数，则下列选项正确的是：（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ C、若 $a + b = 1$ ，则ab的最大值为 $\frac{1}{4}$ D、若 $2 a + b = 1$ ，则 $a (a + b)$ 最大值为 $\frac{1}{4}$

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11. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) = x^{2} + 2 x + 5$ ，下列说法错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小值为5 B、函数 $f (x)$ 在定义域内单调递增 C、若函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，则 $g (x)$ 的值域是 $[2 \sqrt{5} ， + \infty)$ D、若函数 $h (x) = f (2^{x})$ ，则 $h (x)$ 的值域为 $(5 ， + \infty)$

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12. 设函数 $f (x) = e^{x} + 2 x - 2$ ， $g (x) = 2 l n x + x - 2$ ，若 $f (a) = g (b) = 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $a < \frac{1}{2}$ B、 $2 a + b = 1$ C、 $2 l n b + b = 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）

13. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{16 - 2^{x}}}{x^{2}}$ 的定义域为．

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14. 函数 $f (x) = 2^{x^{2} - 2 a x - 3}$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是．

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x & ， x \leq 1 \\ 2^{x} - 3 ， & x > 1 \end{array}$ ，则 $f (x) > - 1$ 的解集为．

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16. 已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 的不恒为0的函数 $f (x)$ ，对于任意正实数m ， n满足 $f (m n) = f (m) + f (n)$ ，且有 $x > 1$ 时 $f (x) < 0$ ，若正实数a ， b满足 $f (a) = f (2 - 2 b)$ ，则 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{2 b^{2}}{b + 1}$ 的最小值为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算下列各式的值：

(1)、 $2.2 5^{\frac{1}{2}} - \sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} + {(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} + {(π - \sqrt{3})}^{0}$

(2)、 $l o g_{\sqrt{3}} 9 + \frac{1}{2} l g 25 + l g 2 + 6^{l o g_{6} 2} + l o g_{2} 9 \cdot l o g_{3} 2$

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18. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 6 x + 8 \leq 0}$ ， $B = {x | 3 - m \leq x \leq 2 m + 1}$ ．

(1)、若 $B \subseteq A$ ，求实数m的取值范围；

(2)、在① $∁_{R} B \subseteq ∁_{R} A$ ， ② $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分条件，③ $A ∩ ∁_{R} B = \emptyset$ 中任选一个作为已知，求实数m的取值范围．

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19. $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$

(1)、求 $f (x)$ 在其定义域上的解析式，并直接指出 $f (x)$ 的单调性（无需证明）；

(2)、求不等式 $f (4^{x} + 4) + f (4 - 3 \cdot 2^{x + 1}) < 0$ 的解集．

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20. 2023年8月，我国各地因暴雨导致洪涝灾害频发，河北省受灾尤其严重，为了支援赈灾，哈三中文创公司进行赈灾义卖，右图为这次义卖的三中金属书签，单件成本为8元．经过市场调查，该书签的销量n（件）与单件售价x（元）之间满足：单件售价不低于8元，且n与 ${(x - 4)}^{2}$ 成反比，且当售价为14元时，销量为200件，已知总利润y（元）的计算方式为：总利润＝销量×（单件售价一单件成本）

(1)、求总利润y与单件售价x之间的关系式：

(2)、求出总利润y的最大值，以及此时单件售价x的值．

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x + 1$

(1)、解关于x的不等式 $f (x) > 0$ ．

(2)、设函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x - 1}$ ，若 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ ，求函数 $g (x)$ 在 $[\frac{3}{2} ， 3]$ 上的值域．

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22. 设函数 $f_{k} (x) = 2^{x} + (k - 1) \cdot 2^{- x}$ ， $x \in R$ ， $k \in Z$ ．

(1)、若 $f_{k} (x) \geq \frac{3}{2}$ 的解集为 $[1 ， + \infty)$ ，判断 $f_{k} (x)$ 的单调性并用单调性定义加以证明；

(2)、设函数 $g (x) = f_{2} (2 x) - 2 m f_{0} (x) - k$ （其中 $m \in R$ ），若 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [0 ， 1]$ ，总 $\exists x_{3} \in [0 ， 1]$ ，使得不等式 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | < f_{3} (x_{3})$ 成立，求实数m的取值范围．

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x	x≤0	0＜x＜2	x≥2
y	1	2	3