安徽省淮北二中联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 下列函数y是x的二次函数的是（）

A、y＝2x+1 B、y＝（x+1）²-x² C、y＝3x²+1 D、 $y = \frac{1}{x^{2}} + 1$

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2. 已知四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中b＝3cm，c＝6cm，d＝9cm，则线段a的长度为（）

A、8cm B、2cm C、4cm D、1cm

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3. 已知点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）都在反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的图象上，且x₁＜0＜x₂ ，则y₁ ， y₂的关系是（）

A、y₂＜0＜y₁ B、0＜y₂＜y₁ C、y₁＜y₂＜0 D、y₁＜0＜y₂

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4. 如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{A C}{C E} = \frac{D F}{B D}$ . B、 $\frac{A C}{A E} = \frac{D F}{B F}$ C、 $\frac{A C}{C E} = \frac{A B}{C D}$ D、 $\frac{A C}{B D} = \frac{C E}{D F}$

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5. 二次函数y＝ax²-4x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 如图，△ABC是等边三角形，被一矩形所截，AB被截成三等分，EH∥BC，若图中阴影部分的面积是12，则四边形BCGF的面积为（）

A、16 B、20 C、36 D、40

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7. 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接BD，CE．则 $\frac{B D}{C E}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为 $y = - \frac{1}{9} (x - 3)^{2} + k$ ，其中y是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A的坐标为 $(0 ， \frac{16}{9})$ ，则实心球飞行的水平距离OB的长度为（）

A、7m B、7.5m C、8m D、8.5m

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9. 如图，A、B是第二象限内双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ 上的点，A、B两点的横坐标分别是a，3a，线段AB的延长线交x轴于点C，S_△_AOC＝12．则k的值为（）

A、-6 B、-5 C、-4 D、-3

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10. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC=75°；②CF＝2AE；③ $\frac{D F}{B C} = \frac{2}{3}$ ；④△FPD∽△PHB．其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 抛物线的形状与y＝x²相同，顶点是（-2，3），该抛物线解析式为．

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12. 某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为2：3，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是米．

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13. 如图，四边形ABCD为平行四边形，AB和CD平行于x轴，点A在函数 $- \frac{5}{x}$ 上，点B、D在函数 $y = \frac{8}{x}$ ，点C在y轴上，则四边形ABCD的面积为．

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14. 如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，交DC于点E，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，且DM=m，GH=n.

(1)、∠DCN＝．

(2)、线段CN的长为．（用含m，n的代数式表示）

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三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15. 已知 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ ，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．

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16. 已知二次函数y＝x²-2x-3．

(1)、完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
…

(2)、根据图象，完成下列填空：
①当x＞1时，y随x的增大而；
②当y＜0时，x的取值范围是．

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四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．

(1)、求作：∠ABC的平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

(2)、求证：点D为线段AC的黄金分割点（即AD²＝CD•CA）．

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18. 规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”．

(1)、若点（a²+1，-2a）是“完美点”，则a＝；

(2)、已知某“完美函数”的顶点在直线y＝x-2上，且与y轴的交点到原点的距离为2，求该“完美函数”的表达式．

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五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 用10米的铝合金制成如图窗框矩形ABCD，其中点E，F分别在边AB，CD上，点G，H分别在边EF，BC上，且EF∥BC，GH⊥BC，BE=BC，BE≥3AE，记窗框矩形ABCD的面积为s平方米，边长BC为x米．

(1)、求s关于x的表达式及自变量x的取值范围．

(2)、求s的最大值．

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20. 如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．

(1)、若∠ABF＝∠ACF，求证：CE²＝EF•EG；

(2)、若DG＝DC，BE＝7，求EF的长．

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六、（本题满分12分）

21. 如图，直线y＝kx+b与双曲线 $y = \frac{m}{x} (x < 0)$ 相交于A（﹣3，1），B两点，与x轴相交于点C（﹣4，0）．

(1)、分别求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、连接OA，OB，求△AOB的面积；

(3)、直接写出当x＜0时，关于x的不等式 $k x + b < \frac{m}{x}$ 的解集．

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七、（本题满分12分）

22. 如图，已知抛物线y＝ax²+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标，若不能，请说明理由．

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八、（本题满分14分）

23. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，AD，BE相交于点F．

(1)、当AC＝BC时，如图1，求证：△AEF≌△BDF；

(2)、连接CF，如图2．
①求证：△AEF∽△AFC；
②若EF＝2 $\sqrt{2}$ ， AF＝8，求AC的长．

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x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…						…