上海市普陀区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）

A、 $s = 2 t^{2} - 2 t + 1$ B、 $y = a x^{2} + b x + c$ C、 $y = 3 x - 1$ D、 $y = x^{2} + \frac{1}{x}$

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2. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（）cm．

A、 $\sqrt{5} -$ 1 B、2 $\sqrt{5} -$ 2 C、5 $\sqrt{5} -$ 5 D、10 $\sqrt{5} -$ 10

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3. 已知非零向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 和 $\vec{c}$ ，下列条件中，不能判定 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 的是（）

A、 $\vec{a} = - 2 \vec{b}$ B、 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{b} = \vec{c} ， \vec{a} - \vec{b} = - \vec{c}$ D、 $\vec{a} = \vec{c} ， \vec{b} = 3 \vec{c}$

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4. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像如图所示，下列结论中正确的是（）．

A、 $a > 0 ， b > 0 ， c < 0$ B、 $a > 0 ， b < 0 ， c < 0$ C、 $a > 0 ， b > 0 ， c > 0$ D、 $a < 0 ， b > 0 ， c < 0$

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5. 如图， $A D$ 、 $B C$ 相交于点O，点E、F分别在 $B C$ 、 $A D$ 上，且 $A B ∥ C D ∥ E F$ ，如果 $C E = 6 ， E O = 4 ， B E = 9$ ，那么下列结论中正确的是（）

A、 $\frac{E F}{C D} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{A F}{F D} = \frac{3}{2}$ C、 $\frac{A O}{O D} = \frac{2}{3}$ D、 $\frac{C D}{A B} = \frac{3}{2}$

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6. 四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，下列条件中，不一定能推得 $△ A O B$ 与 $△ C O D$ 相似的是（）．

A、 $∠ D A C = ∠ D B C$ B、 $∠ B A C = ∠ A C D$ C、 $\frac{O A}{O D} = \frac{O B}{O C}$ D、 $\frac{O A}{O D} = \frac{A B}{C D}$

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二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7. 已知 $\frac{x}{y}$ ＝ $\frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{x + y}{x}$ ＝．

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8. 已知点 $A (3 ， n)$ 在二次函数 $y = 2 x^{2} - 5 x - 3$ 的图像上，那么n的值为．

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9. 抛物线 $y = x^{2} + b x + 2$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，那么b的值为．

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10. 已知二次函数 $y = - 2 (x - 2)^{2} + m$ 的图像经过原点，那么m的值为．

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11. 如果点 $A (2 ， y_{1}) 、 B (5 ， y_{2})$ 在抛物线 $y = (x + 1)^{2} + n$ 上，那么 $y_{1}$ $y_{2}$ （“ $>$ ”、“=”或“ $<$ ”）

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12. 如果向量 $\vec{a}$ 与单位向量 $\vec{e}$ 的方向相反，且长度为4，那么 $\vec{a} =$ ，（用 $\vec{e}$ 表示）

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13. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是中线，G是重心，向量 $\vec{B A} = \vec{a}$ ，向进 $\vec{B C} = \vec{b}$ ，那么向量 $\vec{D G} =$ （用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）

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14. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，在 $△ A B C$ 中，点D在 $A B$ 边上，以 $C D$ 为边作等边 $△ C D E$ ， $D E$ 与 $B C$ 交于点F，如果 $\frac{A D}{D B} = \frac{1}{2} ， A C = 6$ ，那么 $B F =$ ．

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15. 如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线，M是 $D E$ 的中点， $C M$ 的延长线交 $A B$ 于点N，则 $S_{△ D M N} ： S_{四边形 D B C M} =$ ．

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16. 如图，正方形 $D E F G$ 的边 $E F$ 在 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上，顶点D、G分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上，如果 $B C = 12$ ， $△ A B C$ 的面积是36，那么 $D G$ 的长为．

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17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中， $A D ∥ B C ， A D = 4 ， B C = 9$ ，点E、F分别在边AB、CD上，如果EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么 $\frac{D F}{D C}$ 的值为．

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 12$ ，如果将矩形沿直线 $l$ 翻折后，点 $B$ 落在边 $C D$ 的中点 $E$ 处，直线 $l$ 分别与边 $A B$ 、 $B C$ 交于点 $M$ 、 $N$ ，如果 $B N = 6.5$ ，那么 $A M$ 的长为．

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三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19. 如图，已知两个不平行的向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ ．先化简，再求作： $\frac{1}{2} (5 \vec{a} - 2 \vec{b}) - (\frac{1}{2} \vec{a} + 2 \vec{b})$ ．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．）

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20. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （其中a、b、c为常数，且 $a \neq 0$ ）的自变量x的值与它对应的函数值y如下表所示：

(1)、该二次函数图象的对称轴是直线．

(2)、如果 $n = - 2$ ，求此二次函数的解析式及其图像与y轴的交点坐标．

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21. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 4 x$ 与x轴交于点 $A (4 ， 0)$ ，其顶点记作点P．

(1)、求此抛物线的顶点P的坐标．

(2)、将抛物线 $y = a x^{2} - 4 x$ 向左平移m（ $m > 0$ ）个单位，使其顶点落在直线 $y = x$ 上，求平移后新抛物线的表达式．

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22. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点E，过点E作 $A D$ 的平行线 $F G$ ，分别交． $A B$ 、 $D C$ 于点F、G，且 $\frac{A F}{F B} = \frac{D G}{G C}$ ．

(1)、求证： $E G ∥ B C$ ；

(2)、如果 $E F = 2 ， A D = 3$ ，求 $B C$ 的长．

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23. 如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE•AB＝AD•AC．

(1)、求证：∠FEB＝∠C；

(2)、连接AF，若 $\frac{F B}{A B} = \frac{C D}{F D}$ ，求证：EF•AB＝AC•FB．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中（如图），已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 过点A、B、C，点A的坐标是 $(3 ， 0)$ ，点C的坐标是 $(0 ， - 3)$ ，联结 $A C$ ，抛物线的顶点为点D．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、求 $△ A C D$ 的面积；

(3)、如果点P是抛物线上的一点，当 $∠ P C A = 15 °$ 时，求点P的横坐标．

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25. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， ∠ A = 90 ° ， A D = 2 ， A B = 4 ， B C = 5$ ，点N在线段 $C B$ 的延长线上，联结 $D N$ ，作 $∠ M D N = ∠ B D C$ ， $D M$ 与 $B C$ 交于点M．

(1)、求 $D C$ 的长；

(2)、设 $B N = x ， B M = y$ ，求y关于x的函数关系式；

(3)、如果 $△ D M N$ 是等腰三角形，求 $B N$ 的长．

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