上海市浦东新区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-12-01 类型：期中考试

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一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1. “相似的图形”是（）

A、形状相同的图形 B、大小不相同的图形 C、能够重合的图形 D、大小相同的图形

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2. 已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 15$ ，那么下列等式正确的是（）

A、 $s i n A = \frac{8}{17}$ B、 $c o s A = \frac{8}{15}$ C、 $t a n A = \frac{8}{17}$ D、 $c o s A = \frac{8}{15}$

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3. 对于非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，下列条件中，不能判定 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是平行向量的是（）

A、 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{c} / / \vec{b}$ B、 $\vec{a} + 3 \vec{c} = \vec{0}$ ， $\vec{b} = 3 \vec{c}$ C、 $\vec{a} = - 3 \vec{b}$ D、 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} |$

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4. 如图， $B D$ 、 $C E$ 相交于点 $A$ ，下列条件中，能推得 $D E / / B C$ 的条件是（）

A、 $A E ： E C = A D ： D B$ B、 $A D ： A B = D E ： B C$ C、 $A D ： D E = A B ： B C$ D、 $B D ： A B = A C ： E C$

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5. 如图1，是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 $A B$ 的宽度为（）
图1 图2

A、 $1 c m$ B、 $2 c m$ C、 $3 c m$ D、 $4 c m$

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6. 《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木.出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.”大意是：如图所示，四边形 $E F G H$ 是一座正方形小城，北门 $A$ 位于 $F G$ 的中点，南门 $B$ 位于 $E H$ 的中点.从北门出去正北方向20步远的 $C$ 处有一树木.从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见 $C$ 处的树木.正方形小城的边长为（）

A、105步 B、200步 C、250步 D、305步

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二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7. 如果x：y=4：3，那么 $\frac{x - y}{y}$ = ．

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8. 计算： $3 \vec{a} - 4 (\vec{a} + \vec{b}) =$ .

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9. 如果地图上 $A$ 、 $B$ 两处的图距是 $4 c m$ ，表示这两地实际的距离是 $20 k m$ ，那么实际距离是 $500 k m$ 的两地在地图上的图距是 $c m$ .

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10. 已知线段 $M N = 4 c m$ ， $P$ 是线段 $M N$ 的黄金分割点，且 $M P > N P$ ，那么线段 $M P$ 的长度等于 $c m$ .

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11. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 都在横线上.如果线段 $A B = 3$ ，那么线段 $B C$ 的长度是.

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $A B$ 边上一点，联结 $C D$ .已知 $A D = 4$ ， $B D = 5$ ， $A C = 6$ ， $C D = 3$ ，那么线段 $B C$ 的长度是.

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13. 利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是．

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14. 如果锐角 $α$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，那么锐角 $α$ 为度.

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15. 如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 上的中点，联结 $A F$ 、 $B E$ 交于点 $O$ .如果 $B E ⊥ A F$ ， $∠ A B E = 30 °$ ，那么 $A C$ 的长度为.

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17. 如图， $D$ 、 $E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $B C$ 上的点，且 $D E ∥ A C$ ， $A E$ 、 $C D$ 相交于点 $O$ .如果 $S_{△ D O E} ： S_{△ C O A} = 1 ： 25$ ，那么 $S_{△ B D E}$ 与 $S_{△ C D E}$ 的比值为.

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $B C$ 上.将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 所在的直线翻折，使点 $A$ 的对应点 $F$ 落在边 $B C$ 的延长线上.如果 $F D$ 平分 $∠ E F B$ ，那么 $A D$ 的长度为.

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三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

19. 计算： $\frac{4 {cos}^{2} 30 ° - cot 45 °}{tan 60 ° + 2 sin 45 °}$

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20. 如图，已知在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，射线AE与射线BC相交于点F；

(1)、求 $\frac{E F}{A F}$ 的值；

(2)、如果 $\vec{A B}$ = $\vec{a}$ ， $\vec{A D}$ = $\vec{b}$ ，求向量 $\vec{E F}$ ；（用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）

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21. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $B D$ 上任意一点（ $B E > D E$ ）， $C E$ 的延长线交 $A D$ 于点 $F$ ，联结 $A E$ .

(1)、求证； $△ A B E ∽ △ F D E$ ；

(2)、当 $B E = 3 D E$ 时，求 $t a n ∠ F E D$ .

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22. 晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高，于是，两人在灯下沿直线 $N Q$ 移动，如图，当小聪正好站在广场的 $A$ 点（距 $N$ 点5块地砖长）时，其影长 $A D$ 恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的 $B$ 点（距 $N$ 点9块地砖长）时，其影长 $B F$ 恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高 $A C$ 为1.6米， $M N ⊥ N Q$ ， $A C ⊥ N Q$ ， $B E ⊥ N Q$ .请你根据以上信息求出小军身高 $B E$ 的长.（精确到0.01）

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23. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $G$ 分别在边 $A B$ 、 $B C$ 上， $∠ A C D = ∠ B$ ， $A G$ 与 $C D$ 相交于点 $F$ .

(1)、求证： $A C^{2} = A D \cdot A B$ ；

(2)、如果 $\frac{A D}{A C} = \frac{D F}{C G}$ ，求证： $C G^{2} = D F \cdot B G$ .

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24. 已知：如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = x + 4$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ，与 $y$ 轴相交于点 $B$ .

(1)、求 $∠ O A B$ 的余切值；

(2)、如果点 $C$ 为直线 $A B$ 上第一象限内的点，且 $A B = 2 B C$ ，求点 $C$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，直线 $A B$ 上是否存在点 $P$ ，使 $△ O A P$ 与 $△ O B C$ 相似，如果存在，求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由.

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25. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $A D = 8$ .点 $M$ 是边 $B C$ 上的一点（与端点 $B$ 、 $C$ 不重合）

(1)、如图1，当 $B M = 3$ 时，联结 $M D$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，求线段 $D E$ 的长度；

(2)、如图2，当 $∠ D E C = 90 °$ 时，求四边形 $A B M E$ 的面积；

(3)、如图3，过点 $M$ 作 $A M$ 的垂线，交边 $C D$ 于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $G$ .设 $B M = x$ ， $\frac{F G}{A M} = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并写出定义域.

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