备战2024学年中考数学细点逐一突破真题训练第12章全等三角形-在线组卷题库

1. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 9 0^{∘}$ ， $A B = A C$ ，点D为 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ．过点B作 $B E ⊥ A D$ 于点E，过点C作 $C F ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点F．若 $B E = 4$ ， $C F = 1$ ，则 $E F$ 的长度为．

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2. 如图， $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边 $A B$ ， $B C$ ， $C A$ 上运动，满足 $A D = B E = C F$ ．

(1)、求证： $△ A D F ≌ △ B E D$ ；

(2)、设 $A D$ 的长为x， $△ D E F$ 的面积为y，求y关于x的函数解析式；

(3)、结合（2）所得的函数，描述 $△ D E F$ 的面积随 $A D$ 的增大如何变化．

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3.
　　　　

(1)、操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰 $R t △ A C B$ 的直角顶点 $C$ 在原点，若顶点A恰好落在点 $(1 ， 2)$ 处，则点 $B$ 的坐标为．

(2)、感悟应用：如图2，一次函数 $y = - 2 x + 2$ 的图像与 $y$ 轴交于点A ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ，过点 $B$ 作线段 $B C ⊥ A B$ 且 $B C = A B$ ，直线 $A C$ 交轴于点D ．
①点A的坐标为，点B的坐标为；
②直接写出点C的坐标；

(3)、拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点 $A 、 C$ 分别在 $y$ 轴、 $x$ 轴上，且 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，若 $C$ 点的坐标为 $(4 ， 0)$ ，点A的坐标为 $(0 ， 2)$ ，点 $B$ 在第四象限，请求出点 $B$ 的坐标．

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4. 如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作 ∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．

(1)、如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；

(2)、如图3，在Rt△APC中，∠A=90°， $A C > A P$ ，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．
①确定△PCF的形状，并说明理由；

②若AP：PB=1：2，BF= $\sqrt{2}$ k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）．

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $B C = 2$ ．点 $D$ 在 $B C$ 上，且 $B D ： C D = 1 ： 3$ ．连接 $A D$ ，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A E$ ，连接 $B E$ ， $D E$ ．则 $△ B D E$ 的面积是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，以 $A C$ 为边在 $△ A B C$ 下方作 $△ A D C$ ，连接 $B D$ ，已知 $A D = 3$ ， $D C = 6$ ，则 $B D$ 的最大值为．

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7. 【问题呈现】
$△ C A B$ 和 $△ C D E$ 都是直角三角形， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 ° ， C B = m C A ， C E = m C D$ ，连接 $A D$ ， $B E$ ，探究 $A D$ ， $B E$ 的位置关系．

(1)、如图1，当 $m = 1$ 时，直接写出 $A D$ ， $B E$ 的位置关系：；

(2)、如图2，当 $m \neq 1$ 时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

(3)、【拓展应用】
当 $m = \sqrt{3} ， A B = 4 \sqrt{7} ， D E = 4$ 时，将 $△ C D E$ 绕点C旋转，使 $A ， D ， E$ 三点恰好在同一直线上，求 $B E$ 的长．

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8. 已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，分别连接 $B D ， C E$ ．

(1)、如图1，若 $B D ⊥ A D$ ．
①求 $∠ C E D$ 的度数；

②延长 $E D$ 交 $B C$ 于点F ，求证： $B F = C F$ ；

(2)、如图2，若点D在边 $A C$ 上，延长 $B D$ 交 $C E$ 于点G ，连接 $A G$ ．求证： $G A$ 平分 $∠ B G E$ ．

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9.

(1)、【问题呈现】
如图1， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等边三角形，连接 $B D ， C E$ ．求证： $B D = C E$ ．

(2)、【类比探究】
如图2， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形， $∠ A B C = ∠ A D E = 90 °$ ．连接 $B D ， C E$ ．请直接写出 $\frac{B D}{C E}$ 的值．

(3)、【拓展提升】
如图3， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是直角三角形， $∠ A B C = ∠ A D E = 90 °$ ，且 $\frac{A B}{B C} = \frac{A D}{D E} = \frac{3}{4}$ ．连接 $B D ， C E$ ．延长 $C E$ 交 $B D$ 于点F，交 $A B$ 于点G．求 $s i n ∠ B F C$ 的值．

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10. “倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，延长 $A D$ 到 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ，构造出 $△ B E D$ 和 $△ C A D$ ．求证： $△ B E D ≌ △ C A D$ ．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 90 °$ ， $D$ 是斜边 $B C$ 上的中点， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 边上的点，且 $D E ⊥ D F .$

(1)、若 $A B = A C$ ， $B E + C F = 4$ ，求四边形 $A E D F$ 的面积.

(2)、求证： $B E^{2} + C F^{2} = E F^{2}$ .

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12. 综合与实践
小明遇到这样一个问题，如图1， $△ A B C$ 中， $A B = 7$ ， $A C = 5$ ，点D为 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的取值范围.

小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长 $A D$ 到E，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ，构造 $△ B E D ≌ △ C A D$ ，经过推理和计算使问题得到解决

请回答：

(1)、小明证明 $△ B E D ≌ △ C A D$ 用到的判定定理是：____；（填入你选择的选项字母）

A、 $S A S$ B、 $S S S$ C、 $A A S$ D、 $A S A$

(2)、 $A D$ 的取值范围是.

(3)、小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形 $A B C D$ 中，E为 $A B$ 边的中点，G、F分别为 $A D$ ， $B C$ 边上的点，若 $A G = 2$ ， $B F = 4$ ， $∠ G E F = 90 °$ ，求 $G F$ 的长.

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13. 在 $▱ A B C D$ 中， $B C = 2 A B$ ， F是 $A D$ 的中点，作 $C E ⊥ A B$ 于点E，垂足E在线段 $A B$ 上（不与A、B重合），连接 $E F$ 、 $C F$ ．

(1)、如图1，若 $∠ B = 70 °$ ，求 $∠ D F C$ 的度数；

(2)、求证： $E F = C F$ ；

(3)、如图2，若E为 $A B$ 的中点，请直接写出 $S_{△ A E F}$ 与 $S_{△ E F C}$ 的关系．

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14. 在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = \sqrt{2}$ ，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，连接CP，PB．

(1)、如图1，当 $α = 45 °$ 时，求BP的长；

(2)、如图2，若 $∠ C P B = 135 °$ ，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由；

(3)、在旋转过程中，当 $C P = B P$ 时，求旋转角 $α$ 的度数．

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15. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $C D$ 上，连接 $A E$ ， $A F$ ， $E F$ ， $∠ E A F = 45 °$ ．若 $∠ B A E = α$ ，则 $∠ F E C$ 一定等于（）

A、 $2 α$ B、 $90 ° - 2 α$ C、 $45 ° - α$ D、 $90 ° - α$

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16.

(1)、建立模型：如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = 45 °$ ，探究图中线段 $B E$ ， $E F$ ， $F D$ 之间的数量关系 $.$ 小王同学探究此问题的方法是将 $△ A B E$ 绕 $A$ 点逆时针旋转 $90 °$ 使得 $B$ 与 $D$ 重合，连接 $A G$ ，由此得到 $B E =$ ，再证明 $△ A F E$ ≌ $△$ ，可得出线段 $B E$ ， $E F$ ， $F D$ 之间的数量关系为．

(2)、拓展延伸：如图 $2$ ，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，点 $G$ ， $H$ 在边 $A C$ 上，且 $∠ G B H = 45 °$ ，写出图中线段 $A G$ ， $G H$ ， $C H$ 之间的数量关系并证明．

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17.

(1)、如图①，在正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是 $A B$ ， $B C$ 边上的动点，且 $∠ E D F = 45 °$ ，将 $△ D A E$ 绕点D逆时针旋转90°，得到 $△ D C M$ ，可以证明 $△ D E F ≅ △ D M F$ ，进一步推出 $E F$ ， $A E$ ， $F C$ 之间的数量关系为；

(2)、在图①中，连接 $A C$ 分别交 $D E$ 和 $D F$ 于P，Q两点，求证： $△ D P Q ∽ △ D F E$ ；

(3)、如图②，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，点E，F分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的动点（不与端点重合），且 $∠ E A F = 60 °$ ，连接 $B D$ 分别与边 $A E$ ， $A F$ 交于M，N.当 $∠ D A F = 15 °$ 时，猜想 $M N$ ， $D N$ ， $B M$ 之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论.

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C < A C$ ，过点 $B$ 作 $D E ∥ A C$ ，且 $B D = B C$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ A B$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ．

(1)、如图1，若 $∠ B A C = 40 °$ ，且 $B F = B E$ ，求 $∠ C F E$ 的度数；

(2)、如图2，若 $D E = A C$ ，求证： $A B = B F + E F$ ．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，M是 $B C$ 边上的一点，E是 $C D$ 的中点， $A E$ 平分 $∠ D A M$ ．

(1)、判断 $∠ A M B$ 与 $∠ M A E$ 的数量关系，并说明理由；

(2)、求证： $A M = A D + M C$ ；

(3)、若 $A D = 8$ ，求 $A M$ 的长．

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20.

(1)、【模型建立】如图1， $△ A B C$ 和 $△ B D E$ 都是等边三角形，点 $C$ 关于 $A D$ 的对称点 $F$ 在 $B D$ 边上．
①求证： $A E = C D$ ；
②用等式写出线段 $A D$ ， $B D$ ， $D F$ 的数量关系，并说明理由．

(2)、【模型应用】
如图2， $△ A B C$ 是直角三角形， $A B = A C$ ， $C D ⊥ B D$ ，垂足为 $D$ ，点 $C$ 关于 $A D$ 的对称点 $F$ 在 $B D$ 边上．用等式写出线段 $A D$ ， $B D$ ， $D F$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、【模型迁移】
在（2）的条件下，若 $A D = 4 \sqrt{2}$ ， $B D = 3 C D$ ，求 $c o s ∠ A F B$ 的值．

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21. 问题探究：

(1)、如图1， $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D$ 是高，求证： $B D = A D = C D$ .

(2)、如图2，在（1）条件下， $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 和 $B C$ 上的点，且 $∠ E D F = 90 °$ ，如果 $B D = 2$ ，那么四边形 $E D F B$ 的面积是；

(3)、如图3，四边形 $A B C D$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ A D C = 120 °$ ， $B D = 4$ ，求 $A B + B C$ 的值.

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22. 如图：

(1)、如图1，已知线段AD、EC相交于点F，连接AE、DC．若∠E＝∠D=90°，
求证：∠A＝∠C；

(2)、如图2，△ABC中， AD⊥BC垂足为点D，CE⊥AB垂足为点E，∠BAC=45°．
求证：BE＝EF；

(3)、如图3，在（2）的前提下，若AB＝AC，求 $\frac{A F}{C D}$ 的值．

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23. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 上，且 $B M = C N$ ， $A N$ 与 $D M$ 相交于点 $P$ ．

(1)、求证： $△ A B N$ ≌ $△ D A M$ ；

(2)、求 $∠ A P M$ 的大小．

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24. 正方形 $A B C D$ 中，点E为 $B C$ 边上的任意一点（点E不与B，C重合），点P为线段 $A E$ 上一动点，过点P作直线 $l ⊥ A E$ ．

(1)、如图1，当直线l经过点D时，直线l交 $A B$ 边于点F，求证： $D F = A E$ ；

(2)、如图2，当直线l分别交 $A B$ 边， $C D$ 边于点M，点N时，如果 $A E = 6$ ，求 $M N$ 的长．

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25. 如图，正方形 $A B C D$ 边长为4，点E在边 $A B$ 上（点E与点A、B不重合），过点A作 $A F ⊥ D E$ ，垂足为G， $A F$ 与边 $B C$ 相交于点F.

(1)、求证： $△ D A E ≌ △ A B F$ ；

(2)、若 $△ D E F$ 的面积为 $\frac{13}{2}$ ，求 $A F$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，取 $D E$ ， $A F$ 的中点M，N，连接 $M N$ ，求 $M N$ 的长.

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26. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 \sqrt{15}$ ， E，F分别是 $A B ， B C$ 的中点， $A F$ 与 $D E ， D B$ 分别交于点M，N. 请你回答下列问题：

(1)、求证： $A F ⊥ D E$ .

(2)、直接写出 $A M$ 的长.

(3)、求 $△ D M N$ 的面积.

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27. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以 $B$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $N$ ，再分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的定长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $B P$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，作 $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $B C = B E$ B、 $C D = D E$ C、 $B D = A D$ D、 $B D$ 一定经过 $△ A B C$ 的内心

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28. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ， D为 $A C$ 上一点，若 $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线，则 $A D =$ ．

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29. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，P为 $C D$ 边上的一点， $B C ∥ A D$ . $A P$ 、 $B P$ 分别是 $∠ B A D$ 、 $∠ A B C$ 的角平分线.

(1)、若 $∠ B A D = 70 °$ ，则 $∠ A B P$ 的度数为， $∠ A P B$ 的度数为；

(2)、求证： $A B = B C + A D$ ；

(3)、设 $B P = 3 a$ ， $A P = 4 a$ ，过点P作一条直线，分别与 $A D$ ， $B C$ 所在直线交于点E、F，若 $A B = E F$ ，直接写出 $A E$ 的长（用含a的代数式表示）

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30. 在平面直角坐标系中，点 $A$ 在 $x$ 轴的负半轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $A$ 与点 $C$ 关于 $y$ 轴对称.

(1)、如图1， $O A = O B$ ， $A F$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $F$ ， $B E ⊥ A F$ 交 $A C$ 于 $E$ ，请直接写出 $E F$ 与 $E C$ 的数量关系为；

(2)、如图2， $A F$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $F$ ，若 $A F = 2 O B$ ，求 $∠ A B C$ 的度数；

(3)、如图3， $O A = O B$ ，点 $G$ 在 $B O$ 的垂直平分线上，作 $∠ G O H = 45 °$ 交 $B A$ 的延长线于 $H$ ，连接 $G H$ ，试探究 $O G$ 与 $G H$ 的数量和位置关系.

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备战2024学年中考数学细点逐一突破真题训练第12章全等三角形

一、一线三等角型

二、手拉手模型

三、倍长中线型

四、半角模型（45°，60°，120°）

五、截长补短模型

六、对角互补模型

七、十字架模型

八、角平分线模型