（人教版）2024年中考数学一轮复习图形的变化--锐角三角函数练习题

试卷更新日期：2023-11-28 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 在下列计算中，正确的是（）

A、 $5 + (- 6) = - 1$ B、 $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ C、 $3 \times (- 2) = 6$ D、 $s i n 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}$

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2. 爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m耗能 $(1.025 - c o s α) J$ ，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能（）.（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

A、58J B、159J C、1025J D、1732J

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3. 如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米， $∠ P Q T = α$ ，则河宽PT的长度是（）

A、 $m s i n α$ B、 $m c o s α$ C、 $m t a n α$ D、 $\frac{m}{t a n α}$

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4. 如图，海中有一小岛 $A$ ，在 $B$ 点测得小岛 $A$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，渔船从 $B$ 点出发由西向东航行 $10 n m i l e$ 到达 $C$ 点，在 $C$ 点测得小岛 $A$ 恰好在正北方向上，此时渔船与小岛 $A$ 的距离为 $n m i l e$ ．（）

A、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{20 \sqrt{3}}{3}$ C、 $20$ D、 $10 \sqrt{3}$

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5. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $B C = 3$ ，那么 $∠ A$ 的正弦值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $3$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 如果把 $R t △ A B C$ 三边的长度都扩大为原来的 $3$ 倍，那么锐角 $A$ 的四个三角比的值（）

A、都扩大为原来的 $3$ 倍 B、都缩小为原来的 $\frac{1}{3}$
C、都没有变化 D、都不能确定

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7. 以下是某数学兴趣小组开展的课外探究活动，探究目的：测量小河两岸的距离，探究过程：在河两岸选取相对的两点P、A，在小河边取 $P A$ 的垂线 $P B$ 上的一点C，测得 $P C = 50$ 米， $∠ P C A = 42 °$ ，则小河宽 $P A$ 等于（）

A、 $50 s i n 42 °$ 米 B、 $50 c o s 42 °$ 米 C、 $50 t a n 42 °$ 米 D、 $50 t a n 48 °$ 米

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8. 如图，已知 $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，若 $A B = 12$ ， $A D = 5$ ，则 $t a n C$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{13}{12}$

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9. 如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C ，此时飞机高度 $A C$ 为1400米，从飞机上看地面控制点B的俯角为 $α$ ，则B、C之间的距离为（）

A、 $\frac{1400}{\tan α}$ 米 B、 $1400 \tan α$ 米 C、 $1400 \sin α$ 米 D、 $1400 \cos α$ 米

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10. 一张小凳子的结构如图所示， $A C = B C$ ， $∠ 1 = 100 °$ ， $B C = 20 c m$ ，则 $A B$ 等于（）.

A、 $20 s i n 50 ° c m$ B、 $40 c o s 50 ° c m$ C、 $\frac{20}{s i n 50 °} c m$ D、 $\frac{40}{c o s 50 °} c m$

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二、填空题

11. 计算： $2 c o s 45 ° - (\sqrt{3} + π)^{0} =$ ．

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12. 如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝20m，则这棵树CD的高度约为 m．（按四舍五入法将结果保留小数点后一位，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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13. 已知 $α$ 是锐角，且 $c o s α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，那么 $α =$ ．

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14. 如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在 $⊙ O$ 上，点E是线段 $C D$ 与 $⊙ O$ 的交点.则 $∠ B A E$ 的正切值为.

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15. 如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8.连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB＝ $\frac{1}{3}$ ，则AD长度是.

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三、解答题

16. 计算 $| \sqrt{2} - 2 | - 2 \cos 45^{\circ} + {(- 1)}^{- 2} + \sqrt{8}$ ．

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17. 教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC， $∠ B A C = 90 °$ ．黑板上投影图像的高度 $A B = 120 c m$ ， CB与AB的夹角 $∠ B = 33.7 °$ ，求AC的长．（结果精确到1cm．参考数据： $s i n 33.7 ° \approx 0.55$ ， $c o s 33.7 ° \approx 0.83$ ， $t a n 33.7 ° \approx 0.67$ ）

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18. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角 $∠ M B C = 33 °$ ，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 $∠ M E C = 45 °$ （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度 $M N$ 的长.（结果精确到1米；参考数据： $\sin 33 ° \approx 0.54 ， \cos 33 ° \approx 0.84 ， \tan 33 ° \approx 0.65$ ）

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19. 某商店窗前计划安装如图 $1$ 所示的遮阳棚，其截面图如图 $2$ 所示，在截面图中，墙面 $B C$ 垂直于地面 $C E$ ，遮阳棚与墙面连接处点 $B$ 距地面高 $3 m$ ，即 $B C = 3 m$ ，遮阳棚 $A B$ 与窗户所在墙面 $B C$ 垂直，即 $∠ A B C = ∠ B C E = 90 °$ ，假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为 $60 ° ($ 若经过点 $A$ 的光线恰好照射在地面点 $D$ 处，则 $∠ A D E = 60 °)$ ，为使正午时窗前地面上能有 $1 m$ 宽的阴影区域，即 $C D = 1 m$ ，求遮阳棚的宽度 $A B . ($ 结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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四、综合题

20. 为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为 $B$ 点和 $C$ 点，行进路线为 $A \to B \to C \to A$ . $B$ 点在 $A$ 点的南偏东 $2 5^{°}$ 方向 $3 \sqrt{2} k m$ 处， $C$ 点在 $A$ 点的北偏东 $8 0^{°}$ 方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角 $∠ A B C$ 为 $4 5^{°}$ .
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角 $∠ B C A$ 的度数；

⑵求检查点 $B$ 和 $C$ 之间的距离(结果保留根号).

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21. 如图， $A E$ 为 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点A ，与 $O C$ 延长线交于点B ，过点B作 $B D ⊥ O B$ ，交 $A C$ 的延长线于点D ．

(1)、求证： $A B = B D$ ；

(2)、点F为 $⊙ O$ 上一点，连接 $E F$ ， $B F$ ， $B F$ 与 $A E$ 交于点G ．若 $∠ E = 45 °$ ， $A B = 5$ ， $t a n ∠ A B G = \frac{3}{7}$ ，求 $⊙ O$ 的半径及 $A D$ 的长．

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22. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段 $A B C$ 表示车后盖，已知 $A B = 1 m$ ， $B C = 0.6 m$ ， $∠ A B C = 123 °$ ，该车的高度 $A O = 1.7 m$ ．如图2，打开后备箱，车后盖 $A B C$ 落在 $A B^{^{'}} C^{^{'}}$ 处， $A B^{'}$ 与水平面的夹角 $∠ B^{'} A D = 27 °$ ．

(1)、求打开后备箱后，车后盖最高点 $B^{'}$ 到地面 $l$ 的距离；

(2)、若小琳爸爸的身高为 $1.8 m$ ，他从打开的车后盖 $C^{'}$ 处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．
（结果精确到 $0 ． 01 m$ ，参考数据： $s i n 27 ° \approx 0.454$ ， $c o s 27 ° \approx 0.891$ ， $t a n 27 ° \approx 0.510$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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23. 如图， $A C$ 是菱形 $A B C D$ 的对角线．

(1)、尺规作图：将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $B$ 旋转后的对应点为 $D ($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$ ；

(2)、在（1）所作的图中，连接 $B D$ ， $C E$ ．

$①$ 求证： $△ A B D$ ∽ $△ A C E$ ；

$②$ 若 $t a n ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，求 $c o s ∠ D C E$ 的值．

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（人教版）2024年中考数学一轮复习 图形的变化--锐角三角函数 练习题

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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