【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之分式的混合运算

试卷更新日期：2023-11-28 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 化简 $\frac{4}{x + 2} + x - 2$ 的结果是（）

A、1 B、 $\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$ C、 $\frac{x}{x + 2}$ D、 $\frac{x^{2}}{x + 2}$

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2. 以下是代数式 $(\frac{3}{x - 1} - x - 1) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 1}$ 排乱的化简步骤：
① $= \frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ ；
② $= \frac{2 + x}{2 - x}$ ；
③ $= [\frac{3}{x - 1} - \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}] \cdot \frac{x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ ；
④ $= \frac{4 - x^{2}}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$ ．
则正确化简步骤的顺序是（）

A、①→③→④→② B、③→①→④→② C、③→④→①→② D、①→④→③→②

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3. 在计算 $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \cdot \frac{x + 1}{x}$ 时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（）
嘉嘉： $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= (\frac{x - 1 + 1}{x + 1}) \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= 1$
琪琪： $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{x - 1}{x} + \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{2 x}{2 x}$
$= 1$

A、嘉嘉正确 B、琪琪正确 C、都正确 D、都不正确

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4. 若代数式 $(M + \frac{2}{1 - x}) \div \frac{x - 2}{2 x - 2}$ 的化简结果为 $2 x + 2$ ，则整式 $M$ 为（）

A、 $- x$ B、 $x$ C、 $1 - x$ D、 $x + 1$

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5. 试卷上一个正确的式子（ $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a - b}$ ）÷★＝ $\frac{2}{a + b}$ 被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（）

A、 $\frac{a}{a - b}$ B、 $\frac{a - b}{a}$ C、 $\frac{a}{a + b}$ D、 $\frac{4 a}{a^{2} - b^{2}}$

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6. 在计算 $\frac{m^{2}}{m + 1} \div \frac{\otimes}{m + 1}$ 时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是m，则这道题的正确的结果是（）

A、m B、 $\frac{1}{m}$ C、 $m - 1$ D、 $\frac{1}{m - 1}$

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7. 已知公式u＝ $\frac{S_{1} - S_{2}}{t - 1}$ （u≠0），则公式变形后t等于（）

A、 $\frac{S_{1} - S_{2} - u}{u}$ B、 $\frac{S_{1} - S_{2} + u}{u}$ C、 $\frac{u}{S_{1} - S_{2} - u}$ D、 $\frac{u}{S_{1} - S_{2} + u}$

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8. 乐陵市某中学八年级教师为鼓励学生合作学习设计了一个接力游戏——用合作的方式完成分式化简.规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：

接力中，自己负责的一步出现错误的情况是（）

A、只有甲出错 B、甲和乙 C、乙和丙 D、丙和丁

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9. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x} - 1) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1}$ ，小明的解题步骤如下：
原式= $\frac{1 - x}{x} \div \frac{{(x - 1)}^{2}}{(x + 1) (x^{} - 1)}$ 第一步
= $\frac{1 - x}{x} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{(x + 1) (x^{} - 1)}$ 第二步
= $\frac{1 - x}{x} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{{(1 - x)}^{2}}$ 第三步
= $\frac{x + 1}{x}$ 第四步
请你判断一下小明的解题过程从第几步开始出错( ）

A、第一步 B、第二步 C、第三步 D、第四步

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10. 已知 $A \div (1 + \frac{1}{x - 1}) = \frac{1}{x + 1}$ ，则A＝（）

A、 $\frac{x - 1}{x^{2} + x}$ B、 $\frac{x}{x^{2} - 1}$ C、 $\frac{1}{x^{2} - 1}$ D、x²﹣1

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二、填空题

11. 化简： $(\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}) \div \frac{x - 4}{x^{2} - 2 x} =$ .

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12. 若 $(\frac{4}{a^{2} - 4} + \frac{1}{2 - a}) \cdot ω = 1$ ，则 $ω$ = ．

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13. 我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知 $A = x - \frac{2 x - 1}{x}$ ， $B = \frac{x - 1}{x}$ ，则化简 $A \div B$ 的结果为．

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14. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.
$(\frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1} + 1) \div \frac{a}{a + 1} = [\frac{(a + 1) (a - 1)}{(a + 1)^{2}} + 1] \div \frac{a}{a + 1}$ （第一步）

＝ $(\frac{a - 1}{a + 1} + 1) \div \frac{a}{a + 1}$ （第二步）

＝ $\frac{a - 1 + 1}{a + 1} \div \frac{a}{a + 1}$ （第三步）

＝ $\frac{a}{a + 1} \times \frac{a + 1}{a}$ （第四步）

＝1（第五步）.

(1)、任务一：填空：

①第一步进行的运算是（填序号）；

A、整式乘法.

B、因式分解.

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是.

(2)、任务二：请直接写出该分式化简的正确的结果；

(3)、任务三：请根据平时数学的学习经验，就分式的化简过程写出一条注意事项.

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15. 有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第n次运算的结果y_n=（用含字母x和n的代数式表示）．

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三、计算题

16. 化简： $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x + 1} \div (1 - \frac{3}{x + 1})$ ．

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17. 化简： $(\frac{2}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - x}) \div \frac{x + 1}{2 x^{2} - 2 x}$ ．

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18. 化简： $\frac{x^{2}}{x - 2} \cdot (x - 4 + \frac{4}{x})$ ．

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四、解答题

19. 小红在计算 $(\frac{a}{a - b} - 1) \div \frac{b}{a^{2} - b^{2}}$ 时，解答过程如下：
原式 $= \frac{a - a - b}{a - b} \div \frac{b}{(a + b) (a - b)} ①$
$= \frac{- b}{a - b} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{b} ②$
$= - a - b ③$

(1)、小红的解答从第步开始出错；

(2)、请写出正确的解答过程．

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20. 在一次跨学科主题学习活动中，郭老师请同学们以“糖水加糖变甜了”（糖水一直未饱和），这一生活常识为背景提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明．小华设加糖前糖水的浓度为 $\frac{a}{b}$ ，加糖的量为m，则变甜后糖水的浓度为 $\frac{a + m}{b + m}$ ，这就得到数学命题：如果 $b > a > 0$ ， $m > 0$ ，那么 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ ．请你证明这个命题是真命题．

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21. 下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.
$(\frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1} + 1) \div \frac{a}{a + 1}$

$= [\frac{(a + 1) (a - 1)}{{(a + 1)}^{2}} + 1] \div \frac{a}{a + 1}$ …第一步

$= (\frac{a - 1}{a + 1} + 1) \div \frac{a}{a + 1}$ …第二步

$= \frac{a - 1 + 1}{a + 1} \div \frac{a}{a + 1}$ …第三步

$= \frac{a}{a + 1} \div \frac{a}{a + 1}$ …第四步

$= \frac{a}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{a}$ …第五步

$= 1$ …第六步

任务一：填空：

①以上化简步骤中，第一步进行的运算是（）
A、整式乘法
B、因式分解

②第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ ；

任务二：请直接写出该分式化简的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请根据平时的经验，就分式的化简过程写出一条注意事项.

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22. 有这样一道题“求 $\frac{a^{2} + a}{a^{2} - 1} - \frac{a + 1}{a^{2} + 2 a + 1} \div \frac{a - 1}{a + 1}$ 的值，其中a=2018.“小马虎”不小心把a=2018错抄成a=2017，但他的计算结果却是正确的，请说明原因．

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五、综合题

23. 以下是某同学化简分式

\frac{a - b}{a} \div (a - \frac{2 a b - b^{2}}{a})

的部分运算过程：

解：原式 $= \frac{a - b}{a} \div a - \frac{a - b}{a} + \frac{2 a b - b^{2}}{a}$ …………第一步

$= \frac{a - b}{a} \cdot \frac{1}{a} - \frac{a - b}{a} \cdot \frac{a}{2 a b - b^{2}}$ …………第二步

$= \frac{a - b}{a^{2}} = \frac{a - b}{2 a b - b^{2}}$ …………第三步

……

(1)、上面的运算过程中第步开始出现了错误；

(2)、请你写出完整的解答过程．

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24. 下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
$(\frac{x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2}) \div \frac{2}{x - 2}$

$= (\frac{x}{x^{2} - 4} - \frac{x - 2}{x^{2} - 4}) \cdot \frac{x - 2}{2} ⋯ ⋯$ 第一步

$= \frac{x - x - 2}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{2} ⋯ ⋯$ 第二步

$= \frac{- 2}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x - 2}{2} ⋯ ⋯$ 第三步

$= - \frac{1}{x + 2} ⋯ ⋯$ 第四步

(1)、任务一：填空

①以上化简步骤中，第步是通分，通分的依据是．

②第步开始出现错误，错误的原因是．

(2)、任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．

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25. 以下是某同学化简分式 $(\frac{x + 1}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2}) \div \frac{3}{x - 2}$ 的部分运算过程：
解：原式 $= [\frac{x + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x + 2}] \times \frac{x - 2}{3}$ ①
$= [\frac{x + 1}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)}] \times \frac{x - 2}{3}$ ②
$= \frac{x + 1 - x - 2}{(x + 2) (x - 2)} \times \frac{x - 2}{3}$ ③
…
解：

(1)、上面的运算过程中第步出现了错误；

(2)、请你写出完整的解答过程．

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