2023-2024学年北师大版数学八年级上册 5.1认识二元一次方程组同步练习（培优卷）

试卷更新日期：2023-11-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 某班有 $x$ 人，分 $y$ 个学习小组，若每组 $7$ 人，则余下 $3$ 人；若每组 $8$ 人，则不足 $5$ 人，求全班人数及分组数．正确的方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 7 y = x - 3 \\ 8 y = x + 5 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 7 y = x + 3 \\ 8 y = x - 5 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 7 y = x + 3 \\ 8 x = y - 5 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 x = y - 3 \\ 8 x = y + 5 \end{array}$

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2. 若方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ ，则方程组 ${\begin{array}{l} 3 a_{1} x + 2 b_{1} y = a_{1} + c_{1} \\ 3 a_{2} x + 2 b_{2} y = a_{2} + c_{2} \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = \frac{4}{3} \\ y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = \frac{4}{3} \\ y = - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = - 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 1 \end{array}$

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3. 古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．意思就是说，有一群乌鸦要到树林休息，如果每棵树上落坐有三只乌鸦，则有五个落在地上；如果每棵树上落坐有五只乌鸦，则有一棵树没有乌鸦落坐，请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有 $x$ 只，树有 $y$ 棵，由题意可列方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} 3 y = x - 5 \\ 5 y - 1 = x \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 y + 5 = x \\ 5 (y - 1) = x \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 y = x + 5 \\ 3 y + 1 = x \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 3 y - 5 = x \\ 5 (y + 1) = x \end{array}$

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4. 《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”意思是用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺?若设绳子长x尺，木长y尺，则所列方程组正确的是 (　　)

A、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ 2 x + 1 = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ 2 x - 1 = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ \frac{1}{2} x + 1 = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ \frac{1}{2} x - 1 = y \end{array}$

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5. 若 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 2 \end{array}$ 是关于 $x$ 、 $y$ 的方程 $x - m y = 13$ 的一个解，则m的值是（）

A、5 B、-5 C、8 D、-8

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6. 关于x，y的方程组 ${\begin{matrix} x + m y = 0 \\ x + y = 3 \end{matrix}$ 的解是 ${\begin{matrix} x = 1 \\ y = • \end{matrix}$ ，其中y的值被盖住了，不过仍能求出m，则m的值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 若关于x、y的二元一次方程 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 5 m \\ 3 x - 2 y = 7 m \end{array}$ 的解，也是方程 $3 x + y = 20$ 的解，则m的值为（）

A、-3 B、-2 C、2 D、无法计算

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8. 小亮解方程组 ${\begin{cases} 2 x + y = ● \\ 2 x - y = 12 \end{cases}$ 的解为 ${\begin{cases} x = 5 \\ y = ⋆ \end{cases}$ ，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（）

A、4和6 B、6和4 C、2和8 D、 8和 $- 2$

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9. 在沙县国际连锁早餐店里，李大爷买5个馒头、3个包子，老板少拿2元，只要17元；张大妈买11个馒头、5个包子，老板以售价的九折优惠，只要33.3元．若馒头每个 $x$ 元，包子每个 $y$ 元，依题意可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 17 + 2 \\ 11 x + 5 y = 33.3 \times 0.9 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 17 + 2 \\ 11 x + 5 y = 33.3 \div 0.9 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 17 - 2 \\ 11 x + 5 y = 33.3 \times 0.9 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 17 - 2 \\ 11 x + 5 y = 33.3 \div 0.9 \end{array}$

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10. 甲乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（）。

A、 ${\begin{cases} x + y = 100 \\ (x + 10 %) x + (1 - 40 %) y = 100 \times (1 + 20 %) \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} x + y = 100 \\ (x - 10 %) x + (1 + 40 %) y = 100 \times 20 % \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} x + y = 100 \\ (1 - 10 %) x + (1 + 40 %) y = 100 \times (1 + 20 %) \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} x + y = 100 \\ (1 + 10 %) x + (1 - 40 %) y = 100 \times 20 % \end{cases}$

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二、填空题

11. 已知 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 3 \end{array}$ 是方程 $m x + n y = 5$ 的解，则代数式 $4 m + 6 n - 1$ 的值为．

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12. 我们知道，任意一个正整数 $n$ ，都可以进行这样的分解： $n = p \times q (p ， q$ 是正整数，且 $p \leq q)$ ，在 $n$ 的所有这种分解中，如果 $p$ ， $q$ 两因数之差的绝对值最小，我们就称 $p \times q$ 是 $n$ 的最佳分解 $.$ 并规定： $F (n) = \frac{p}{q} .$ 例如 $12$ 可以分解成 $1 \times 12$ ， $2 \times 6$ ， $3 \times 4$ ，因为 $| 12 - 1 | > | 6 - 2 | > | 4 - 3 |$ ，所以 $3 \times 4$ 是 $12$ 的最佳分解，所以 $F (12) = \frac{3}{4} .$ 如果一个两位正整数 $t$ ， $t = 10 x + y (1 \leq x \leq y \leq 9 ， x ， y$ 为自然数 $)$ ，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原来的两位正整数所得的和为 $88$ ，那么我们称这个数 $t$ 为“顺顺数”，求所有“顺顺数”中 $F (t)$ 的最大值为．

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13. 三个同学对问题“若方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = - 2 \end{array}$ ，求方程组 ${\begin{array}{l} 5 a_{1} x + 6 b_{1} y = 7 c_{1} \\ 5 a_{2} x + 6 b_{2} y = 7 c_{2} \end{array}$ 的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试”；丙说“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 $7$ ，通过换元替代的方法来解决” $.$ 参考他们的讨论，求出方程组的解是．

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14. 已知关于 $x$ 、 $y$ 的方程 $x^{2} m^{2} - x^{2} + (m + 1) y + 2 x = 6$ 是二元一次方程，则 $m =$ ．

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15. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两(‘两’为我国古代货币单位)；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何?”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为.

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三、解答题

16. 已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 2 \\ 5 x + 2 y = - 12 \end{array}$ 的解满足 $x - y = m - 1$ ，求 $m$ 的值．

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17. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + 5 y = 3 a \\ - x - 3 y = 12 \end{array}$ ，若该方程组的解x，y的值互为相反数，求a的值和方程组的解.

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18. 已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 4 \\ 4 x + 3 y = 2 m + 2 \end{array}$ 的解满足 $x + y = 2$ ，求实数 $m$ 的值.

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19. 已知一次函数y＝ax＋2与y＝kx＋b的图象如图所示，且方程组 ${\begin{array}{l} a x - y = - 2 \\ k x - y = - b \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array}$ 点B坐标为(0，－1).

求这两个一次函数的表达式.

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20. 甲乙两位同学对一道方程组的问题进行辩论，具体信息如下：
【问题信息】已知关于 x，y 的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 4 \end{array}$ ，求关于 x，y 的方程组 ${\begin{array}{l} 3 a_{1} x + 2 b_{1} y = 5 c_{1} \\ 3 a_{2} x + 2 b_{2} y = 5 c_{2} \end{array}$ 的解．
【观点阐述】甲说：“由于方程组中未知数较多，导致这个题目的条件不足，不能求解”；乙说：“可以把第二个方程组的两个方程的两边都除以 5，通过换元的思想来解决”．
你认为甲乙两位同学谁说得对，请尝试求出第二个方程组的解．

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2023-2024学年北师大版数学八年级上册 5.1认识二元一次方程组 同步练习（培优卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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