四川省成都市武侯区2023-2024学年高三上学期数学试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、选择题：（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x < 0}$ ， $B = {x | 2^{x} > 1}$ ，则（）

A、 $B \subseteq A$ B、 $A \subseteq B$ C、 $A ∪ B = R$ D、 $A ∩ B = \emptyset$

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2. 若 $z (1 + i) = 2 i$ ，则复数z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线 $y = 2 x$ 上，则 $c o s 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{6} = 5 ， a_{3} + a_{8} = 15$ ，则 $a_{9}$ 的值为（）

A、15 B、-15 C、10 D、-10

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5. 已知空间两不同直线m、n ，两不同平面 $α$ 、β ，下列命题正确的是（）

A、若 $m / / α$ /且 $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ β$ 且 $m ⊥ n$ ，则 $n / / β$ C、若 $m ⊥ α$ 且 $m / / β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若m不垂直于 $α$ ，且 $n \subset α$ ，则m不垂直于n

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6. 将函数 $f (x) = c o s 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，则关于函数 $y = g (x)$ 以下说法正确的是（）

A、最大值为1，图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、周期为π，图象关于点 $(\frac{3 π}{8} ， 0)$ 对称 C、在 $(- \frac{3 π}{8} ， \frac{π}{8})$ 上单调递增，为偶函数 D、在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递减，为奇函数

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， D是BC边一点， $D C = 2 B D$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 等于（）

A、 $- \frac{8}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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8. 设 $a = l o g_{9} 3$ ， $b = 2^{- \frac{1}{2}}$ ， $c = s i n \frac{π}{8}$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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9. 如图，平面四边形ABCD中， $A B = A D = C D = 1$ ， $B D = \sqrt{2}$ ， $B D ⊥ C D$ ，将其沿对角线BD折成四面体 $A^{'} - B C D$ ，使平面 $A^{'} B D ⊥$ 平面BCD ．四面体 $A^{'} - B C D$ 的顶点在一个球自上，则该球的不积为（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ C、 $\frac{4}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$

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10. 已知函数 $f (x) = k x l n x - \frac{x^{2}}{2} - k x (k \in R)$ 有 $(0 ， e^{2})$ 有一个极值点，则k的取值此围是（）

A、 $[0 ， e)$ B、 $(- \infty ， 0) ∪ [\frac{e^{2}}{2} ， + \infty) ∪ {e}$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ [\frac{e^{2}}{2} ， + \infty)$ D、 $(0 ， e]$

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11. 在矩形ABCD中， $A B = 1$ ， $A D = 2$ 动点P在以点C为圆心与BD相切的同上．若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $λ + μ$ 的最大值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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12. 已知O为坐标原点，F是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点．P为C一点，且 $P F ⊥ x$ 轴．过点A的直线l与线段PF交于点M ，与y轴交于点E ．若直线BM经过OE的中点，则C的离心当为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、填空题：（本大期共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 曲线 $y = x^{2} - 2 x - l n x + 2$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线的倾斜角为．

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14. 点 $(3 ， 0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的一条渐近线的距离为．

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15. 数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{2 n + 1} - a_{2 n - 1} = 2$ ， $\frac{a_{2 n + 2}}{a_{2 n}} = 2$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前n项和记为 $S_{n}$ ，则 $S_{23} =$ ．

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16. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则在下列关系① $a^{2} + b^{2} \leq 2$ ② $b \leq e^{1 - a}$ ③ $c o s \frac{a}{2} \geq \frac{1}{3 - b}$ ④ $e^{a} - e a = e^{b} + e b$ 中，能作为“ $a + b \leq 2$ ”的必要不充分条件的是（填正确的序号）．

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三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c﹐其外接圆半径为1， $\frac{b}{1 - c o s B} = 4$ ， $s i n A + s i n C = 1$ ．

(1)、求 $c o s B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位： $m^{3}$ ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

(1)、在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：

(2)、估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 $0.35 m^{3}$ 的概率；

(3)、估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水?（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为4的菱形， $∠ A P B = \frac{π}{2}$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $P B = 2 \sqrt{3}$ ， $P C = 4$ ，点M、N分别是AB、CD的中点．

(1)、求证： $C M ⊥$ 平面PAB；

(2)、求四面体PMND的体积．

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20. 已知抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，过抛物线上除原点外任一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M ，直线l是 $∠ M P F$ 的角平分线．

(1)、求直线l与抛物线 $Γ$ 交点的个数；

(2)、直线l与抛物线的准线相交于点N ，过N作抛物线的切线，切点为Q（不与P点重合），求 $△ N P Q$ 面积的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - a l n x$ ， $g (x) = a x$ ．

(1)、若 $a > 0$ ，求函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的极值；

(2)、若不等式 $\frac{s i n x}{2 + c o s x} \leq g (x)$ 对 $x \in [0 ， 2 π]$ 恒成立，求a的取值范围．
请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑．

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22.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线 $C_{1}$ ： ${\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + t \end{cases}$ （t为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 6 s i n θ$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、若曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于两点A ， B ，点P是曲线 $C_{2}$ 上异于点A ， B的任意一点，求 $△ P A B$ 的面积S的最大值．

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23.
[选修4－5：坐标系与参数方程]
已知函数 $f (x) = | x - 1 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) + f (x + 4) \geq 8$ ；

(2)、若 $| a | < 1$ ， $| b | < 1$ ，且 $a \neq 0$ ，求证： $f (a b) > | a | f (\frac{b}{a})$ ．

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