重庆市南开名校2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．

1. 设全集 $U = {$ 小于10的正整数 $}$ ， $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 ${5 ， 6}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${4 ， 5}$

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2. 命题“ $\exists x > 1$ ， $x^{2} + x + 1 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} + x + 1 < 0$ B、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ C、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} + x + 1 \geq 0$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$

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3. 若函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1} + \sqrt{2 - x}$ ，则 $f (x)$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty ， 1) ∪ [2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1) ∪ (1 ， 2)$ C、 $(- \infty ， 1) ∪ (1 ， 2]$ D、 $(1 ， 2]$

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4. 已知 $a \in R$ ，则“ $\frac{1}{a} < 1$ ”是“ $a > 1$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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5. 下列函数既是奇函数又在 $(0 ， + ∞)$ 单调递增的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = \frac{1}{x^{3}}$ C、 $y = x - \frac{1}{x}$ D、 $y = x + \frac{1}{x}$

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6. 已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 单调递减，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $x f (x) \leq 0$ 的解集为（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $(- \infty ， - 2] \cup {0}$ C、 $(- \infty ， - 2] ∪ [2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2] ∪ {0} ∪ [2 ， + \infty)$

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7. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y = 1$ ，若 $\frac{1}{x} + \frac{9}{y} > a^{2} + 6 a$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 8 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 8)$ C、 $(- \infty ， - 8)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + \frac{1}{x} ， x > 0 \\ x + 3 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - (1 + m) f (x) + m = 0$ 有四个不同的实数根，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3 ， 0)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(2 ， 3]$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．

9. 已知实数 $a ， b ， c ， d$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $0 < a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $a > b > 0$ ， $c > d > 0$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a - d > b - c$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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10. 在同一坐标系下，函数 $y = x^{a}$ 与 $y = a x + 1$ 在其定义域内的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - 14 ， x \leq 2 \\ \frac{a}{x} ， x > 2 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 可能的值有（）

A、 $- 5$ B、 $- 4$ C、 $- 3$ D、0

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12. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足： $f (2) = 2$ ，且对于任意 $x_{1} > x_{2} > 0$ ， $x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2}) > 2 x_{2} - 2 x_{1}$ ，若函数 $g (x) = \frac{f (x) - 2}{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 单调递增 B、 $g (- 3) < g (4)$ C、 $f (x)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 单调递减 D、若正数 $m$ 满足 $f (2 m) - \frac{m}{2} f (4) + m - 2 > 0$ ，则 $m \in (2 ， + \infty)$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应位置上．

13. 若函数 $f (x) = \frac{2 x + a}{x^{2} + 1}$ 为奇函数，则实数 $a =$ ．

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14. 已知 $f (x + 2) = x^{2} + 4 x$ ，则 $f (x) =$ .

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15. 求函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x + 2}{x - 1}$ ， $x > 1$ 的最小值．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x + \frac{1}{2} ， x \in [0 ， \frac{1}{2}) \\ \frac{3}{4 x} ， x \in [\frac{1}{2} ， + ∞) \end{array}$ ，若 $f (f (x_{0}) + \frac{1}{2}) \geq \frac{1}{2}$ ，则实数 $x_{0}$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．

17. 已知集合 $A = {x | \frac{x + 2}{x - 2} < 0}$ ， $B = {x | 2 x + 1 \leq 2 m}$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A ⊆ B$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 2 m - 7) x^{m}$ ，且 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增．

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = \frac{2 x + 4}{4 - x}$ ， $x \in [0 ， 1]$ 的值域．

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19. $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的函数，且对任意实数 $x$ 均满足 $f (x) + 2 f (- x) = - 2 x - 3$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若存在 $x \in [1 ， 3]$ 使得不等式 $x^{2} - (m - 1) x + f (x) > 0$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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20. 重庆南开中学作为高中新课程新教材实施国家级示范校，校本选修课是南开中学课程创新中的重要一环，学校为了支持生物选修课程开展，计划利用学校面积为 $900 (m^{2})$ 的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔 $1 (m)$ ，三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留 $1 (m)$ 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右边沿保留 $3 (m)$ 宽的通道，如图．设矩形空地长为 $x (m)$ ，三块种植植物的矩形区域（如下图中阴影部分所示）的总面积为 $S (m^{2})$ ．

(1)、求 $S$ 关于 $x$ 的函数关系式；

(2)、求 $S$ 的最大值，及此时长 $x$ 的值．

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21. 已知 $f (x)$ 为定义在 $(0 ， + ∞)$ 上不恒为 $0$ 的函数，对定义域内任意 $x$ ， $y$ 满足： $2 f (x y) = f (x) f (y)$ ， $f (1) = 2$ ．且当 $x < 1$ 时， $0 < f (x) < 2$ ．

(1)、证明： $f (x) > 0$ ；

(2)、证明： $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 单调递减；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $f (x) f (x - 2) > 4$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - m x - m$ ．

(1)、若方程 $f (x) = - m^{2}$ 恰有两个不同的正根，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $g (x) = | \frac{f (x)}{x} |$
①求 $g (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最大值 $φ (m)$ ；
②若 $\exists m \in R$ ，对 $\forall x \in [1 ， 2]$ 有： $g (x) \leq a^{2} - \frac{2}{7} a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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