四川省成都市树德名校2023-2024学年高一上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合 ${2 a ， a^{2}}$ 中实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 ${a | a = 0 ，$ 或 $a = 2}$ B、 ${a | a = 0 ，$ 且 $a = 2}$ C、 ${a | a \neq 0 ，$ 或 $a \neq 2}$ D、 ${a | a \neq 0 ，$ 且 $a \neq 2}$

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2. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ B、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ C、 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \geq 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{| x |} ， x \neq 0 \\ 1 ， x = 0 \end{array}$ D、 $f (x) = 1$ ， $g (x) = x^{0}$

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3. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”，这句话是来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的（）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 杭州亚运会火炬如图 $(1)$ 所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图 $(2)$ 所示的几何体 $.$ 假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为 $h$ ，则 $h$ 关于时间 $t$ 的函数的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 满足 ${1} \subseteq A$ ⫋ ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ 的集合 $A$ 的个数为（）

A、7 B、8 C、15 D、16

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6. 已知函数 $y = \frac{3 x + 2}{x - 1}$ ， $x \in (m ， n]$ 的最小值为 $8$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $[1 ， 2)$

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7. 定义在 $R$ 上函数 $y = f (x)$ 满足以下条件：①函数 $y = f (x + 1)$ 是偶函数；②对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (- \infty ， 1]$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时都有 $(x_{1} - x_{2}) (f (x_{1}) - f (x_{2})) > 0$ ，则 $f (0)$ ， $f (\frac{3}{2})$ ， $f (- 3)$ 的大小关系为（）

A、 $f (\frac{3}{2}) > f (0) > f (- 3)$ B、 $f (- 3) > f (0) > f (\frac{3}{2})$ C、 $f (\frac{3}{2}) > f (- 3) > f (0)$ D、 $f (- 3) > f (\frac{3}{2}) > f (0)$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调函数，且 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 时，都有 $f (f (x) + \frac{2}{x}) = - 1$ ，则 $f (1) =$ （）

A、-4或-1 B、-4 C、-1 D、0

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列命题中正确的是（）

A、若 $- 1 < a < 5 ， - 2 < b < 3$ ，则 $1 < a - b < 2$ B、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b > 0 ， m > 0$ ，则 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$

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10. 下列说法不正确的是（）

A、 $\emptyset \subseteq A (A 为任意集合)$ B、定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数，则 $f (x)$ 在 $R$ 上为增函数 C、函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ 的最小值为2 D、一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 = 0$ 的两根都在 $(1 ， + \infty)$ 内的充要条件是 $m \geq 2 \sqrt{2}$

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11. 不等式 $a (x - 1) (x - 3) + 2 > 0$ 的解集为 $(- \infty ， x_{1}) ∪ (x_{2} ， + \infty)$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 4$ B、 $| x_{1} - x_{2} | > 2$ C、 $3 < x_{1} x_{2} < 4$ D、不等式 $(3 a + 2) x^{2} - 4 a x + a < 0$ 解集为 $(\frac{1}{x_{2}} ， \frac{1}{x_{1}})$

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12. 根据已学函数 $y = x + \frac{c}{x} (c \neq 0)$ 的图象与性质来研究函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x} (a b \neq 0)$ 的图象与性质，则下列结论中正确的是（）

A、若 $a b > 0$ ， $f (x)$ 在 $[\sqrt{\frac{b}{a}} ， + \infty)$ 为增函数 B、若 $a b < 0$ ， $\forall m > 0$ ，方程 $| f (x) | = m$ 一定有4个不同实根 C、设函数 $g (x) = f (x) + \frac{x^{3} + {(2 x + 1)}^{2} + 3}{x^{2} + 1}$ 在区间 $[- 2 ， 0) ∪ (0 ， 2]$ 上的最大值为M ，最小值为N ，则 $M + N =$ 8 D、若 $a = 2 ， b = - 2$ ，对任意 $x \in [1 ， + ∞)$ ， $f (m x) + m f (x) < 0$ 恒成立，则实数m的取值范围是 $m < - 1$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．

13. 已知 $f (\sqrt{x} - 1) = x - 2 \sqrt{x}$ ，则 $f (x)$ ＝.

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14. 函数 $f (x) = [x]$ 的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数，例如 $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，则函数 $y = x - [x] (- 1 < x < 1)$ 的值域为．

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15. 树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查．调查结果显示：参加物理培优的有60人，参加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科培优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共有人．

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16. 已知 $a ， b ， c$ 是正实数，且 $b + c = \sqrt{6}$ ，则 $\frac{a c^{2} + 2 a}{b c} + \frac{16}{a + 2}$ 最小值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x^{2} + 3 x - 10 \leq 0}$ ， $B = {x | \frac{9}{x + 4} \geq 1}$ ．

(1)、求图中阴影部分表示的集合；

(2)、已知集合 $C = {x | 10 - a < x < 2 a + 1}$ ，是否存在实数 $a$ 使得 $(∁_{U} A) \cap C = \emptyset$ ，若存在，求 $a$ 的取值范围．若不存在，说明理由．

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18. 设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x - 1$ ．

(1)、命题 $p ： \exists x \in R$ ，使得 $f (x) < x - 3$ 成立．若 $p$ 为假命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求不等式 $f (x) < 0 (a < 0)$ 的解集.

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19. 已知 $f (x) = \frac{x}{x - a}$ ．

(1)、若 $a > 0$ 且 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 内单调递减，求 $a$ 的取值范围；

(2)、函数 $y = g (x)$ 的图象关于点 $P (m ， n)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = g (x + m) - n$ 为奇函数．当 $a = 1$ 时，求 $h (x) = f (x) + x^{3} - 3 x^{2}$ 的对称中心．

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20. 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其它扣除．
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：
已知小王缴纳的专项扣除：基本养老金、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是36000元，依法确定的其它扣除是4000元．

(1)、设小王全年应纳税所得额为 $t$ （不超过300000元）元，应缴纳个税税额为 $y$ 元，求 $y = f (t)$ ；

(2)、如果小王全年综合所得收入额为150000元，那么他全年应缴纳多少个税？

(3)、设小王全年综合所得收入额为 $x$ (不超过500000)元，全年应缴纳个税税额为 $y$ 元，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．

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21. 定义在 ${x | x \neq 0}$ 上的函数 $f (x)$ ，对任意 $x$ ， $y$ ，都有 $f (x y) = f (x) + f (y) - 3$ ，且 $f (2) = 1$ ，当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) > 3$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减；

(2)、解不等式 $f (3 x - 5) > - 5$ ．

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22. 函数 $f (x) = x^{2} + 2 | x - a | + a (a \in R)$ ， $g (x) = \frac{x^{2} - 2 a x + 1}{x^{2}} (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 为偶函数，求实数 $a$ 的值并指出此时函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a < 0$ 时， $\forall x_{1} \in [- 1 ， - \frac{1}{3}] ， \exists x_{2} \in [- 2 ， 2] ，$ 都有 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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