四川省成都市青羊区2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 空间向量 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， 3 ， x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x =$ （）

A、1 B、-2 C、0 D、2

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2. 已知直线的方程为 $x s i n α - y + 2 = 0 ， (α \in R)$ ，则该直线的倾斜角 $θ$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$ B、 $[0 ， \frac{3 π}{4}]$ C、 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ D、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π)$

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3. 已知圆 $A$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ ，圆 $B$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + 26 - m = 0$ ，若圆 $A$ 与圆 $B$ 外切，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、9 C、10 D、16

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4. 在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面 $A B C$ 中， $A C = A B = 2 ， A C ⊥ A B$ ，且 $C C_{1} = 2 ， ∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ，则线段 $B C_{1}$ 的长度是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、4

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5. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别是棱 $A B ， B C$ 上的动点，且 $B N = A M$ ，当三棱锥 $B_{1} - M N B$ 的体积最大时，直线 $A B$ 与平面 $B_{1} M N$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$

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6. 已知圆 $C_{1} ： (x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} ： (x - 6)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 ， M ， N$ 分别是圆 $C_{1} ， C_{2}$ 的动点， $P$ 为直线 $x - y - 6 = 0$ 上的动点，则 $| P M | + | P N |$ 的最小值为（）

A、6 B、10 C、13 D、16

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7. 在Rt $△ A B C$ 中， $A B = B C = 2 \sqrt{2} ， D$ 为 $A C$ 的中点.将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 进行旋转，得到三棱锥 $C - A B D$ ，当二面角 $A - B D - C$ 为 $\frac{2 π}{3}$ 时， $C - A B D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $\frac{40}{3} π$ C、 $20 π$ D、 $\frac{32}{3} π$

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8. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为1，点 $C_{1}$ 关于平面 $A B C D$ 对称的点为 $C_{2}$ ，矩形 $A A_{1} C C_{1}$ 内（包括边界）的点 $P$ 满足 $P C_{1} ⊥ P C_{2}$ ，记直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成线面角为 $θ$ .当 $θ$ 最大时，过直线 $A P$ 做平面 $α$ 平行于直线 $B D$ ，则此时平面 $α$ 截正方体所形成图形的周长为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} + 2$ B、 $2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} - 2$ D、 $2 \sqrt{3} - 2$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列选项正确的是（）

A、若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线一定平行 B、若直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x + a y - 2 = 0$ 垂直，则 $a = 0$ C、若直线 $a x + 2 y - 1 = 0$ 与直线 $8 x + a y + 2 - a = 0$ 平行，则 $a = - 4$ D、若直线 $l$ 的一个方向向量是 $\vec{e} = (- 1 ， \sqrt{3})$ ，则直线 $l$ 的倾斜角是 $\frac{π}{3}$

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10. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B C D$ 是矩形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = 4 ， C D = A D = 2$ ， $M ， N$ 分别为 $P A ， P C$ 的中点， $G$ 为线段 $P B$ 上的动点，则（）

A、四面体 $N - B C D$ 每个面都是直角三角形 B、 $D G ⊥ M N$ C、当点 $G$ 异于 $P$ 点时， $A C$ $∥$ 平面 $M N G$ D、直线 $P B$ 和平面 $D A C$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 21 = 0$ 上的动点，则下面正确的有（）

A、圆的半径为3 B、 $\frac{y_{0}}{x_{0} - 3}$ 既没有最大值，也没有最小值 C、 $2 x_{0} + y_{0}$ 的范围是 $[11 - 2 \sqrt{5} ， 11 + 2 \sqrt{5}]$ D、 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + 2 x_{0} + 3$ 的最大值为72

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12. 已知圆 $C ： (x - k)^{2} + (y - 2 k + 3)^{2} = 4 (k \in R)$ ，点 $P (2 t ， 4 t - 10) ， (t \in R)$ .过点 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线 $P A ， P B ， A ， B$ 为切点，则下列说法正确的有（）

A、当 $k = 1$ 时，不存在实数 $t$ ，使得线段 $A B$ 的长度为整数 B、若 $M$ 是圆 $C$ 上任意一点，则 $P M$ 的最小值为 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ C、当 $k = - 1$ 时，不存在点 $P$ ，使得 $△ P A B$ 的面积为1 D、当 $k = - 1$ 且 $2 t \in N$ 时，若在圆 $C$ 上总是存在点 $Q$ ，使得 $∠ C P Q = \frac{π}{6}$ ，则此时 $t \in {\frac{1}{2} ， 1}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知直线 $l ： 3 x - y - 6 = 0$ 与圆 $C ： (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5$ ，则直线 $l$ 被圆 $C$ 所截得的弦长为.

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14. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $N$ 在线段 $P A$ 上，满足 $P A = 3 P N ， M$ 是平面 $A B C$ 内任意一点， $4 \vec{P M} = 5 \vec{P N} + x \vec{P B} + 2 \vec{P C}$ ，则实数 $x =$ .

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15. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点 $(x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ ，且以向量 $\vec{n} = (a ， b ， c) (a b c \neq 0)$ 为方向向量，则这条直线可以用方程 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ 来表示，已知直线 $l$ 的方程为 $x - 2 = y - 4 = 2 z$ ，则点 $P (4 ， 4 ， 2)$ 到直线 $l$ 的距离为.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 2 \sqrt{2} ， B C = 6 ， \vec{C A} \cdot \vec{B C} = - 12$ ，过 $A C$ 中点 $M$ 的动直线 $l$ 与线段 $A B$ 交于点 $N$ ，将 $△ A M N$ 沿直线 $l$ 向上翻折至 $△ A_{1} M N$ ，使得点 $A_{1}$ 在平面 $B C M N$ 内的射影 $H$ 落在线段 $B C$ 上，则斜线 $A_{1} M$ 与平面 $B C M N$ 所成角的正弦值的取值范围为.

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四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知点 $A (- 2 ， 0 ， 2) ､ B (- 1 ， 1 ， 2) ､ C (- 3 ， 0 ， 4) ， \vec{a} = \vec{A B} ， \vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、若 $| \vec{c} | = 6$ ，且 $\vec{c} = λ \vec{C B}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、求以 $A B ， A C$ 为邻边的平行四边形的面积.

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18. 已知直线 $l_{1}$ 经过 $A (- 2 ， - 8) ， B (3 ， 2)$ 两点， $l_{1} ⊥ l_{2} ， (6 ， 3) \in l_{2}$ .

(1)、求直线 $l_{1}$ 和直线 $l_{2}$ 的一般式方程；

(2)、已知直线 $l_{3}$ 经过直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 的交点，且在 $x$ 轴上的截距是在 $y$ 轴上的截距的4倍，求直线 $l_{3}$ 的一般式方程.

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19. 如图所示，有一个矩形坐标场地 $A B C D$ （包含边界和内部， $A$ 为坐标原点）， $A D$ 长为8米，在 $A B$ 边上距离 $A$ 点4米的 $F$ 处放置一个行走仪，在距离 $A$ 点2米的 $E$ 处放置一个机器人，机器人行走速度为 $v$ ，行走仪行走速度为 $2 v$ ，若行走仪和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点 $M$ ，那么行走仪将被机器人捕获，称点 $M$ 叫捕获点.

(1)、求在这个矩形场地内捕获点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若 $N$ 为矩形场地 $A D$ 边上的一点，若行走仪在线段 $F N$ 上都能逃脱，问： $N$ 点的位置应在何处？

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ A B D$ 是边长为3的正三角形， $B C ⊥ C D ， B C = C D ， P D ⊥ A B$ ，平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P D = 4$ ，求二面角 $C - P B - D$ 的平面角的正切值.

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21. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为 $4 ， ∠ B A D = 6 0^{∘} ， E$ 为 $A B$ 的中点.将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使 $A$ 到达 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B ， A^{'} C$ ，得到四棱锥 $A^{'} - B C D E$ .

(1)、证明： $D E ⊥ A^{'} B$ ；

(2)、当二面角 $A^{'} - D E - B$ 的平面角在 $[\frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ 内变化时，求直线 $A^{'} C$ 与平面 $A^{'} D E$ 所成角的正弦值的最大值.

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22. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 和点 $M (2 ， 4)$ .

(1)、过点 $M$ 向圆 $O$ 引切线，求切线的方程.

(2)、点 $N$ 是圆 $O$ 上任意一点， $S$ 在线段 $N M$ 的延长线上，且点 $M$ 是线段 $S N$ 的中点，求 $S$ 点运动的轨迹 $E$ 的方程.

(3)、设圆 $O$ 与 $x$ 轴交于 $C ， D$ 两点，线段 $M O$ 上的点 $T$ 上满足 $16 \vec{T C} \cdot \vec{D T} = \vec{C M} \cdot \vec{M D}$ ，若 $T \in$ 直线 $l$ ，且直线 $l$ 与（2）中曲线 $E$ 交于 $A ， B$ 两点，满足 $\vec{T A} = 3 \vec{A B}$ .试探究是否存在这样的直线 $l$ ，若存在，请说明理由并写出直线 $l$ 的斜率，若不存在，请说明理由.

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