天津市五校联考2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分）

1. 已知直线经过点 $(1 ， 0)$ ， $(4 ， \sqrt{3})$ ，该直线的倾斜角为（）．

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2. 直线 $x + (m + 1) y - 1 = 0$ 与直线 $m x + 2 y - 1 = 0$ 平行，则m的值为（）

A、1或 $- 2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $- 2$

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3. 已知三角形ABC的三个顶点分别为 $A (1 ， 0)$ ， $B (2 ， - 3)$ ， $C (3 ， 3)$ ，则AB边上的中线所在直线的方程为（）

A、 $3 x - y - 6 = 0$ B、 $x - y = 0$ C、 $x + y - 6 = 0$ D、 $3 x + y - 12 = 0$

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4. “4＜k＜10”是“方程 $\frac{x^{2}}{k - 4}$ + $\frac{y^{2}}{10 - k}$ =1表示焦点在x轴上的椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知直线 $l$ 过点 $P (1 ， 2 ， 1)$ 和点Q(2，2，0)，则点 $A (1 ， - 1 ， - 1)$ 到 $l$ 的距离为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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6. 从点 $A (- 4 ， 1)$ 出发的一条光线l ，经过直线 $l_{1} ： x - y + 3 = 0$ 反射，反射光线恰好经过点 $B (- 3 ， 2)$ ，则反射光线所在直线的斜率为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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7. 已知 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ 是椭圆C的两个焦点，过 $F_{2}$ 且垂直于x轴的直线交C于A ， B两点，且 $A B = \sqrt{2}$ ，则椭圆C的标准方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{4} + x^{2} = 1$ B、 $\frac{x_{}^{2}}{2} + y_{}^{2} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， P是椭圆C上的点， $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ 是椭圆C的左右焦点，若 $\vec{P F_{1}^{}} \cdot \vec{P F_{2}^{}} \leq 2 a c$ 恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{5} - 1}{2} ， 1)$ B、 $(0 ， \sqrt{2} - 1]$ C、 $(0 ， \frac{\sqrt{5} - 1}{2}]$ D、 $[\sqrt{2} - 1 ， 1)$

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9. 若圆 $x_{}^{2} + y_{}^{2} = 5$ 上有两个动点A，B，满足 $| A B | = \sqrt{15}$ ，点M在直线2x+y-5=0上动，则 $| \overset{\leftrightarrow}{M A} + \overset{\leftrightarrow}{M B} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）

10. 设 $x ， y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x ， 1 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， y ， 1)$ ， $\vec{c} = (2 ， - 4 ， 2)$ 且 $\vec{a} ⊥ \vec{c} ， \vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ .

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11. 设点 $A (2 ， - 3)$ ､ $B (- 3 ， - 2)$ ，若直线l过点 $P (1 ， 1)$ 且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围.

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12. 若过点 $(- 2 ， 1)$ 的直线 $l$ 和圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 2 = 0$ 交于 $A ， B$ 两点，若弦长 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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13. 已知点 $(4 a ， 2 b)$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）在圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $M$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 的公共弦上，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为.

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 30 ° ， | A B | = 2 ， S_{△ A B C}^{} = \sqrt{3}$ ．若以 $A ， B$ 为焦点的椭圆经过点 $C$ ，则该椭圆的离心率 $e =$ .

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15. 已知 $F$ $(\sqrt{6} ， 0)$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $P$ 为 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点.若△ $O F P$ 是以 $O F$ 为底边的等腰三角形，且△ $O F P$ 外接圆的面积为 $2 π$ ，则椭圆 $C$ 的长轴长为.

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三、解答题

16. 已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (- 1 ， 1)$ 和 $B (- 2 ， - 2)$ ，且圆心在直线 $l ： x + y - 1 = 0$ 上，求：

(1)、求圆心为 $C$ 的圆的标准方程；

(2)、设点 $P$ 在圆 $C$ 上，点 $Q$ 在直线 $x - y + 5 = 0$ 上，求 $| P Q |$ 的最小值；

(3)、若过点 $(0 ， 3)$ 作圆 $C$ 的切线，求该切线方程．

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17. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = 2$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，且 $A B ⊥ A D$ ， $B C / / A D$ ， $A D = A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $M$ 为 $P C$ 中点， $E$ 在线段 $B C$ 上，且 $B E = 1$ .

(1)、求证： $D M / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求平面 $P D E$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值；

(3)、求点 $E$ 到平面 $P D C$ 的距离.

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的 $⊙ E$ 与直线 $x - y + \sqrt{6} = 0$ 相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过定点 $Q (1 ， 0)$ 斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = - 2$ ，求实数 $k$ 的值及 $△ M O N$ 的面积.

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19. 在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D / / Q A$ ， $∠ P D A = \frac{π}{2}$ ，平面 $A D P Q ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = P D = 2 Q A = 2$ ．

(1)、求证： $Q B / /$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求二面角 $C - P B - Q$ 的正弦值；

(3)、已知点 $H$ 在棱 $P D$ 上，且异面直线 $A H$ 与 $P B$ 所成角的余弦值为 $\frac{7 \sqrt{3}}{15}$ ，求线段 $D H$ 的长．

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20. 如图，已知椭圆G： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右两个焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，设 $A (0 ， b)$ ， $P (- a ， 0)$ ， $Q (a ， 0)$ ，若 $△ A F_{1} F_{2}$ 为正三角形且周长为6．

(1)、求椭圆G的标准方程；

(2)、若过点 $(1 ， 0)$ 且斜率为 $k (k \neq 0 ， k \in R)$ 的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使 $∠ M P O = ∠ N P O$ 成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；

(3)、若过点 $(1 ， 0)$ 的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，记△PMQ、△PNQ的面积记为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围．

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