重庆市主城九龙坡区2024届高三第一学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设 $M ， N ， U$ 均为非空集合，且满足 $M \overset{\subset}{\neq} N \overset{\subset}{\neq} U$ ，则 $(∁_{U} M) \cup (∁_{U} N) =$ （）

A、 $U$ B、 $M \cup N$ C、 $∁_{U} M$ D、 $∁_{U} N$

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2. 已知命题 $p ： a = - 1$ ，命题q：复数 $z = \frac{1 + i}{1 + a i}$ 为纯虚数，则命题 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\sqrt{3} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ D、 $2 \vec{b}$

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4. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 $F$ 在半圆 $O$ 上，点 $C$ 在直径 $A B$ 上，且 $O F ⊥ A B$ ，设 $A C = a$ ， $B C = b$ ，则该图形可以完成的无字证明为（）

A、 $\frac{a + b}{2} > \sqrt{a b} (a > b > 0)$ B、 $a^{2} + b^{2} > 2 a b (a > b > 0)$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} < \sqrt{a b} (a > b > 0)$ D、 $\frac{a + b}{2} < \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} (a > b > 0)$

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5. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 均为等差数列，且 $a_{1} = 1 ， b_{1} = 7 ， a_{2} + b_{2} = 12$ ，设数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、84 B、540 C、780 D、920

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6. 函数 $f (x) = s i n 2 x - c o s (x + \frac{3 π}{4})$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、0 D、 $- \frac{9}{8}$

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7. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设 $A ， B ， C$ 三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）

A、60种 B、150种 C、180种 D、300种

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} x ， x \geq 0 \\ - x^{2} ， x < 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = k e^{x}$ 有两个不相等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2 e})$ B、 $(\frac{1}{2 e} ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{e})$ D、 $(- \frac{1}{e} ， 0)$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照 $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100]$ 的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（）

A、样本的众数为70 B、样本的 $80 %$ 分位数为78.5 C、估计该市全体学生成绩的平均分为70.6 D、该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3}) (x \in R)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增 B、 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后所得图象关于 $y$ 轴对称 C、若 $f (x) \leq f (x_{0})$ 对任意实数 $x$ 都成立，则 $x_{0} = \frac{5 π}{12} + k π (k \in Z)$ D、方程 $f (x) = l o g_{2 π} x$ 有3个不同的实数根

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11. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球 $n$ 次后球仍回到甲手里的概率为 $P_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P_{2} = \frac{1}{2}$ B、 $P_{4} = \frac{5}{8}$ C、 $P_{n} = \frac{1}{2} (1 - P_{n - 1})$ D、 $P_{n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

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12. 已知 $3^{a} = 2 ， 5^{b} = 3$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ C、 $a + b < 2 a b$ D、 $a + a^{b} < b + b^{a}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. $(x + 2 y) (x - y)^{6}$ 的展开式中， $x^{4} y^{3}$ 的系数为（用数字作答）．

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14. 曲线 $y = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $\frac{s i n α c o s 2 α}{s i n α + c o s α} =$ ．

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15. 定义：在数列 ${a_{n}}$ 中， $\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = d (n \in N^{*})$ ，其中 $d$ 为常数，则称数列 ${a_{n}}$ 为“等比差”数列，已知“等比差”数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 3$ ，则 $\frac{a_{12}}{a_{10}} =$ ．

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16. 若 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且 $f (x) - x^{2}$ 为奇函数， $f (x) + 2^{x}$ 为偶函数．则 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， - 1]$ 上的最小值为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， 2 b c o s^{2} \frac{A}{2} = \sqrt{3} a s i n B$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 3$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上，且 $\vec{C D} = \frac{1}{3} \vec{C A}$ ，求 $△ B C D$ 面积的最大值．

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18. 2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：

(1)、根据表中数据，采用小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？

(2)、为弄清学生不喜欢电子竞技原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；

(3)、将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望．
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = \frac{1}{2} ， 2 n (S_{n + 1} - S_{n}) = (n + 1) a_{n}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n (2 - S_{n}) ， n \in N^{*}$ ，若对任意 $n \in N^{*}$ 都有 $b_{n} \leq λ$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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20. 当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：

(1)、若用模型 $y = a e^{b x}$ 拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，根据提供的数据，求出 $y$ 与 $x$ 的经验回归方程；

(2)、为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲胜丙的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙胜丙的概率为 $\frac{3}{5}$ ，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} u_{i} = 28.5 ， \sum_{i = 1}^{6} x_{i} u_{i} = 106.05$ ，其中， $u_{i} = l n y_{i}$
参考公式：对于一组数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ，其经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

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21. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + m x + 1) e^{x}$ ．

(1)、若 $m = 0$ ，求 $f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上恰有一个极小值点，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若对于任意 $x \in (0 ， π) ， f (x) > e^{x} (x^{2} c o s x + 1)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - a x^{2} + x ， a \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 是减函数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{2} > 2 x_{1}$ ，证明： $x_{1} x_{2} > \frac{8}{e^{2}}$ ．

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