北京市海淀区名校2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 如图， $E ， F$ 分别是长方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱 $A B ， C D$ 的中点，则 $\vec{A B} + \vec{C F}$ 等于（）

A、 $\vec{A D^{'}}$ B、 $\vec{A C^{'}}$ C、 $\vec{D E}$ D、 $\vec{A E}$

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2. 直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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3. 若抛物线 $x^{2} = a y$ 的焦点坐标为 $(0 ， 1)$ ，则其准线方程为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $y = - 1$ D、 $y = 1$

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4. 如图，已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长都等于 $a ， E ， F ， G$ 分别是棱 $A B ， A D ， D C$ 的中点．则 $\vec{G F} \cdot \vec{A C}$ 与 $\vec{E F} \cdot \vec{B C}$ 分别等于（）

A、 $- \frac{a^{2}}{2}$ 和 $\frac{a^{2}}{4}$ B、 $\frac{a^{2}}{2}$ 和 $- \frac{a^{2}}{4}$ C、 $\frac{a^{2}}{2}$ 和 $\frac{a^{2}}{4}$ D、 $- \frac{a^{2}}{2}$ 和 $\frac{a^{2}}{2}$

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5. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线交椭圆于A、B两点，如果 $| A B | = 8$ ，那么 $| A F_{2} | + | B F_{2} |$ 的值为（）

A、2 B、10 C、12 D、14

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6. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的点到其焦点的距离的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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7. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的焦点 $F (3 ， 0)$ 到其渐近线的距离为 $\sqrt{5}$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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8. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点，点 $Q$ 为面 $A D D_{1} A_{1}$ 内一点， $B_{1} Q ⊥ A P$ ，则（）

A、 $S_{△ A_{1} D_{1} Q} = 2 S_{△ A_{1} A Q}$ B、 $2 S_{△ A_{1} D_{1} Q} = S_{△ A_{1} A Q}$ C、 $2 S_{△ A_{1} D_{1} Q} = 3 S_{△ A_{1} A Q}$ D、 $3 S_{△ A_{1} D_{1} Q} = 2 S_{△ A_{1} A Q}$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 若经过点 $(3 ， a) ， (- 2 ， 0)$ 的直线与直线 $x - 2 y + 3 = 0$ 垂直，则 $a =$ ．

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10. 已知平面 $α$ 的法向量为 $(2 ， - 4 ， - 2)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $(- 1 ， 2 ， k)$ ，若 $α / / β$ ，则 $k =$ ．

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11. 已知两圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x + 3 y + 1 = 0$ 和 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 4 x + 3 y + 2 = 0$ 相交，则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线的方程为．

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12. 设 ${\vec{v}}_{1} = (1 ， 2 ， - 2) ， {\vec{v}}_{2} = (- 2 ， 3 ， 2)$ 分别是空间两直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的方向向量，则直线 $l_{1} ， l_{2}$ 所成角的大小为．

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13. 已知 $P (2 ， 3)$ 是直线 $l$ 上一点，且 $\vec{n} = (1 ， - 2)$ 是直线 $l$ 的一个法向量，则直线 $l$ 的方程为．

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14. 设点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上任意一点，若使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = m$ 成立的点恰好是4个，则实数 $m$ 的一个取值可以为．

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三、解答题（本大题共3小题，共30分）

15. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (8 ， 5) ， B (4 ， - 2) ， C (- 6 ， 3)$ ，求经过两边 $A B$ 和 $A C$ 的中点的直线的方程．

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16. 已知直线 $l ： x + m y - 3 = 0$ 与圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ ．

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求实数 $m$ 的值；

(2)、当 $m = - 2$ 时，直线 $l$ 与圆 $C$ 交于点 $E ， F$ ，设 $O$ 为原点，求 $△ E O F$ 的面积．

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17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 1 ， A D = 2 ， M$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $A D / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求平面 $P A M$ 与平面 $P C D$ 所成的角的余弦值．

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四、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

18. 在空间直角坐标系中，已知点 $A (1 ， m ， 1) ， B (- 1 ， 1 ， 2) ， C (3 ， - 2 ， 1) ， D (1 ， - 3 ， 2)$ ，若 $A ， B ， C ， D$ 四点共面，则 $m =$ ．

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19. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作 $x$ 轴的垂线 $l ， l$ 在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于 $A ， B$ 两点．若点 $A$ 是线段 $F B$ 的中点，则双曲线的离心率为．

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20. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 2$ ， $B C = 1$ ，点 $P$ 在侧面 $A_{1} A B B_{1}$ 上．若点 $P$ 到直线 $A A_{1}$ 和 $C D$ 的距离相等，则 $A_{1} P$ 的最小值是．

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21. 在平面直角坐标系中，到两个点 $A (- 2 ， 0)$ 和 $B (2 ， 0)$ 的距离之积等于4的轨迹记作曲线 $Ω$ ，对于曲线 $Ω$ 及其上一点 $P$ ，有下列四个结论：
①曲线 $Ω$ 关于 $x$ 轴对称；
②曲线上有且仅有一点 $P$ ，满足 $| P A | = | P B |$ ；
③曲线 $Ω$ 上所有的点的横坐标 $x \in [- 2 \sqrt{2} ， 2 \sqrt{2}]$ ，纵坐标 $y \in [- 1 ， 1]$ ；
④ $| P A | + | P B |$ 的取值范围是 $[2 \sqrt{2} ， 5]$ ．
其中，所有正确结论的序号是．

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五、解答题（本大题共3小题，共34分）

22. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，点 $E$ 在棱 $B B_{1}$ 上

(1)、求证： $A_{1} C_{1} ⊥ D B_{1}$ ；

(2)、从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得 $D B_{1} ⊥$ 平面 $E A_{1} C_{1}$ ，并给出证明．
条件①： $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点；
条件②： $B D_{1} / /$ 平面 $E A_{1} C_{1}$ ；
条件③： $D B_{1} ⊥ B D_{1}$ ．

(3)、若 $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点，且点 $D$ 到平面 $E A_{1} C_{1}$ 的距离为1，求 $B B_{1}$ 的长度．

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23. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，上、下顶点分别为 $B_{2} ， B_{1} ， | B_{1} B_{2} | = 2 \sqrt{2}$ ，四边形 $A_{1} B_{1} A_{2} B_{2}$ 的周长为 $8 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、设点 $F$ 为椭圆 $Γ$ 的左焦点，点 $T (- 3 ， m)$ ，过点 $F$ 作 $T F$ 的垂线交椭圆 $Γ$ 于点 $P ， Q$ ，连接 $O T$ 与 $P Q$ 交于点 $H$ ．试判断 $\frac{| P H |}{| H Q |}$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

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24. $n$ 个有次序的实数 ${\vec{a}}_{1} ， {\vec{a}}_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， {\vec{a}}_{n}$ 所组成的有序数组 $({\vec{a}}_{1} ， {\vec{a}}_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， {\vec{a}}_{n})$ 称为一个 $\vec{n}$ 维向量，其中 ${\vec{a}}_{i} (i = 1 ， 2 \cdot \cdot \cdot ， \vec{n})$ 称为该向量的第 $i$ 个分量．特别地，对一个 $\vec{n}$ 维向量 $\vec{a} = ({\vec{a}}_{1} ， {\vec{a}}_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， {\vec{a}}_{n})$ ，若 $| {\vec{a}}_{i} | = 1 ， i = 1 ， 2 \cdot \cdot \cdot \vec{n}$ ，称 $\vec{a}$ 为 $\vec{n}$ 维信号向量．设 $\vec{a} = ({\vec{a}}_{1} ， {\vec{a}}_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， {\vec{a}}_{n}) ， \vec{b} = ({\vec{b}}_{1} ， {\vec{b}}_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， {\vec{b}}_{n})$ ，则 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的内积定义为 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i = 1}^{n} {\vec{a}}_{i} {\vec{b}}_{i}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ．

(1)、直接写出4个两两垂直的4维信号向量．

(2)、证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．

(3)、已知 $k$ 个两两垂直的2024维信号向量 ${\vec{x}}_{1} ， {\vec{x}}_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， {\vec{x}}_{k}$ 满足它们的前 $m$ 个分量都是相同的，求证： $\sqrt{k m} < 45$ ．

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