江苏省南京市2024届高三上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | y = l n (x - 1) |}$ ，集合 $B = {y | y = 2_{}^{- x} ， x > - 2 |}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(1 ， 4)$ C、[1，4） D、 $(4 ， + \infty)$

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2. 已知a= $\log_{1.1} 0.9$ ， b= ${0.9}^{1.1}$ ， c= ${1.1}^{0.9}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、a<b<c B、a<c<b C、b<a<c D、b<c<a

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3. “养国子以道，乃教之六艺”出自《周礼·保氏》，其中六艺是指礼、乐、射、御、书、数，是我国周朝时期贵族教育体系中要求学生所必需掌握的六种基本才能，而一般商贾之家，因受当时的生产力、经济等各方面条件制约，在教育方面只能为孩童挑选部分才能进行培养．已知某商贾觉得“君子不学礼无以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，商贾依据自己能力，只能为每个孩童择四艺进行培养．若令商贾和两个孩童都满意，其余两艺随机选取，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 已知圆 $C$ 的方程为 ${(x - 1)}_{}^{2} + {(y - 1)}_{}^{2} = 2$ ，点 $P$ 在直线 $y = x + 3$ 上，线段 $A B$ 为圆 $C$ 的直径，则 $\overset{\leftrightarrow}{P A} \cdot \overset{\leftrightarrow}{P B}$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $3$ D、 $\frac{7}{2}$

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5. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a c = 4$ ， $\sin B + 2 \sin C \cos A = 0$ ，则 $Δ A B C$ 面积的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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6. 已知双曲线 $C ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a ， b > 0)$ ， $P (x_{0}^{} ， y_{0}^{})$ 是直线 $b x - a y + 2 a = 0$ 上任意一点，若 $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = 2$ 与双曲线 $C$ 的右支没有公共点，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、（1，2] B、（1， $\sqrt{2}$ ] C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $[\sqrt[4]{2} ， + \infty)$

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7. 已知四棱锥 $S - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2 B C = 2$ ，平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $Δ S A D$ 为正三角形.则四棱锥 $S - A B C D$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{32 \sqrt{3}}{27} π$ B、 $\frac{16 \sqrt{3}}{27} π$ C、 $\frac{32 \sqrt{3}}{9} π$ D、 $\frac{16 \sqrt{3}}{9} π$

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8. 设函数 $f (x) = e_{}^{x} (2 x - 1) - a x + a (a < 1)$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}^{}$ ，使得 $f (x_{0}^{}) < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2 e} ， 1 ）$ B、 $[- \frac{3}{2 e} ， \frac{3}{4} ）$ C、 $[\frac{3}{2 e} ， \frac{3}{4} ）$ D、 $[\frac{3}{2 e} ， 1 ）$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 两个具有线性相关关系的变量的一组数据 $(x_{1}^{} ， y_{1}^{}) ， (x_{2}^{} ， y_{2}^{}) ， ⋯ (x_{n}^{} ， y_{n}^{})$ ，下列说法正确的是（）

A、相关系数 $| r |$ 越接近 $1$ ，变量 $x ， y$ 相关性越强 B、落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C、相关指数 $R_{}^{2}$ 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D、若 $x$ 表示女大学生的身高， $y$ 表示体重则 $R_{}^{2} \approx 0.64$ 表示女大学生的身高解释了 $64 %$ 的体重变化

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10. 设 $m ， n$ 是两条不同的直线， $α ， β$ 是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ α ， n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $α ⊥ β ， m ⊥ β ， m ⊄ α$ ，则 $m ∥ α$ C、若 $α ⊥ β ， m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $m ∥ β ， n ∥ β ， m \subset α ， n \subset α$ ，则 $α ∥ β$

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11. 二项展开式 $(2 x - 1)^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{0} = - 1$ B、 $5 a_{5} + 4 a_{4} + 3 a_{3} + 2 a_{2} + a_{1} = 10$ C、 $a_{3} = 80$ D、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 1$

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12. 已知数列 ${a_{n}^{}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}^{}$ ， $a_{1}^{} = 1$ ， $S_{n + 1}^{} = S_{n}^{} + 2 a_{n}^{} + 1$ ，数列 ${\frac{2_{}^{n}}{a_{n}^{} \cdot a_{n + 1}^{}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}^{}$ ，则下列选项正确的为（）

A、数列 ${a_{n}^{} + 1}$ 是等差数列 B、数列 ${a_{n}^{} + 1}$ 是等比数列 C、数列 ${a_{n}^{}}$ 的通项公式为 $a_{n}^{} = 2_{}^{n} - 1$ D、 $T_{n}^{} < 1$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为．（用数字作答）

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14. 已知抛物线 $C ： y_{}^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $2 x + y + 1 = 0$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$ ， $P$ 为抛物线上的一个动点，则 $\frac{| P Q |}{| P F |}$ 的最大值为.

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15. 正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象､生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩 $X ~ N (100 ， 225)$ .若成绩低于 $m + 10$ 的同学人数和高于 $2 m - 20$ 的同学人数相同，则整数 $m$ 的值为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{2} - 4 x ， x \leq a \\ 4 - x ， x > a \end{cases}$ ，其中 $a > 0$ ，若函数 $g (x) = f (x) - 3 | x |$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在① $Δ A B C$ 的外接圆面积为 $3 π$ ② $Δ A D C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ， ③ $Δ B D C$ 的周长为 $5 + \sqrt{7}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.
问题：在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $D$ 是 $A B$ 边上一点，已知 $A D = \frac{1}{3} A B$ ， $s i n A s i n C = \frac{3}{4}$ ， $c o s 2 B + 3 c o s B = 1$ ， ▲ ，求 $C D$ 的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知数列 ${a_{n}^{}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}^{}$ ，满足 $S_{n}^{} = \frac{1}{3} (a_{n}^{} - 1)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}^{}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n}^{} = a_{n}^{} \cdot s i n \frac{n π}{2}$ ，求数列 ${b_{n}^{}}$ 的前 $100$ 项的和 $T_{100}^{}$ ．

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19. 某企业为了提高产量，需通过提高工人的工资，调动员工的工作积极性，为了对员工工资进行合理调整，需对员工的日加工量进行分析．为此随机抽取了 $50$ 名员工某天加工零件的个数 $x$ （单位：个），整理后得到频数分布表如下：
零件个数 $x$ /个
$[180 ， 200)$
$[200 ， 220)$
$[220 ， 240)$
$[240 ， 260)$
$[260 ， 280)$
$[280 ， 300)$
$[300 ， 320)$
频数 $y$
5
6
9
12
8
6
4

(1)、由频数分布表估计这 $50$ 名员工这一天加工产量的平均值 $x$ （四舍五入取整）（区间值用中点值代替）；

(2)、该企业为提高产量，开展了一周（7天）的“超量有奖”宣传活动，并且准备了6.5万元用于发给超量的员工．规定在这一周内，凡是生产线上日加工量在200个以上（含290）的员工，除获得“日生产线上的标兵”的荣称号外，当天还可额外获得100元的超量奖励，若该企业生产线上的4000名员工每天加工零件数量大致服从正态分布 $N (μ ， 2 1^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为⑴中的平均值 $\bar{x}$ ，请利用正态分布知识估计6.5万元用于超量奖的准备金是否充足；

(3)、为了解“日生产线上的标兵”员工的生产情况，企业有关部门对抽取的样本中的50名员工中的日生产量进行分析发现，有6个获得“日生产线上的标兵”的荣誉称号，现从这6名员工中任意抽取4名员工，记日生产量至少为300个的员工人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列与数学期望．
参考数据： $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ，
$P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $A D = P D = 1$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ P D C = 120 °$ ，点 $E$ 为线段 $P C$ 的中点，点 $F$ 是线段 $A B$ 上的一个动点．

(1)、求证：平面 $D E F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、设二面角 $C - D E - F$ 的平面角为 $θ$ ，试判断在线段 $A B$ 上是否存在这样的点 $F$ ，使得 $t a n θ = 2 \sqrt{3}$ ，若存在，求出 $\frac{| A F |}{| F B |}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x_{}^{2}}{a_{}^{2}} + \frac{y_{}^{2}}{b_{}^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $F_{1}^{} ， F_{2}^{}$ 是椭圆 $C$ 的左右焦点， $P$ 为椭圆上的一个动点，且 $Δ P F_{1}^{} F_{2}^{}$ 面积的最大值为 $3 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的右焦点 $F_{2}^{}$ 作与 $x$ 轴不垂直的直线 $l_{1}^{}$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点，第一象限点 $M$ 在椭圆上且满足 $M F_{2}^{} ⊥ x$ 轴，连接 $M A ， M B$ ，记直线 $A B ， M A ， M B$ 的斜率分别为 $k ， k_{1}^{} ， k_{2}^{}$ ，探索 $\frac{k_{1}^{} + k_{2}^{}}{2} - k$ 是否为定值，若是求出；若不是说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x + a}{x} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值：

(2)、若曲线 $y = f (x) - x$ 有 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 两个零点．
①求 $a$ 的取值范围；
②证明：存在一组 $m$ ， $n (n > m > 0)$ ，使得 $f (x)$ 的定义域和值域均为 $[m ， n]$ ．

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零件个数 $x$ /个	$[180 ， 200)$	$[200 ， 220)$	$[220 ， 240)$	$[240 ， 260)$	$[260 ， 280)$	$[280 ， 300)$	$[300 ， 320)$
频数 $y$	5	6	9	12	8	6	4