江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一上学期数学期中联合调研试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 3} + \frac{1}{x - 3}$ 的定义域为（）

A、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 3) ∪ (3 ， + \infty)$ C、 $[\frac{3}{2} ， 3)$ $∪ (3 ， + \infty)$ D、 $(\frac{3}{2} ， 3) ∪ (3 ， + \infty)$

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2. 下列各组表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x_{}^{2}} ， g (x) = \sqrt[3]{x_{}^{3}}$ B、 $f (x) = 1 ， g (x) = x_{}^{0}$ C、 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 2 ， x \geq 2 \\ - x + 2 ， x < 2 \end{array}} ， g (x) = | x - 2 |$ D、 $f (x) = x + 3 ， g (x) = \frac{x_{}^{2} - 9}{x - 3}$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 2 ， x \leq 1 \\ 2 x - 3 ， x > 1 \end{array}}$ ，则 $f (f (1)) =$ （）

A、1 B、3 C、 D、

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4. “”是“ $x + y > 3$ ”的（）条件.

A、充要 B、充分且不必要 C、必要且不充分 D、既不充分也不必要

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5. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a x ， x < 1 \\ (1 - a) x - 2 a ， x \geq 1 \end{array}}$ ，若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4}]$ B、 $(0 ， \frac{1}{4})$ C、 D、 $(\frac{1}{4} ， 1)$

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6. 函数 $f (x) = \frac{x^{4} - 1}{x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设f(x)是偶函数，且对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in (- \infty ， 0) (x_{1} \neq x_{2})$ ，有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ， $f (2023) = 0$ ，则 $\frac{f (x) + f (- x)}{x} < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup (2023 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2023) \cup (0 ， 2023)$ C、 $(- 2023 ， 0) \cup (0 ， 2023)$ D、 $(- 2023 ， 0) ∪ (2023 ， + \infty)$

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8. 任何正实数N可以表示成 $N = a \times 1 0_{}^{n} (1 \leq a < 10 ， n \in Z)$ ，此时，则在小数点后第（）位开始出现非零数字？（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知 $a ， b \in R$ ，若 $a b < 0 ， a + b > 0 ， a > b$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a > 0 > b$ B、 C、 $a > | b |$ D、 $\frac{1}{a - b} < \frac{1}{a}$

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10. 设函数 $f (x) 、 g (x)$ 的定义域都为 $R$ ，且 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，则下列结论一定正确的是（）

A、 $f (x) + g (x)$ 是奇函数 B、 $| f (x) | + g (x)$ 是偶函数 C、 $f (x) \cdot | g (x) |$ 是偶函数 D、 $| f (x) \cdot g (x) |$ 是偶函数

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11. 下列选项中正确的有（）

A、若集合 $A = {- 1 ， 2} ， B = {x | a x + 2 = 0}$ ，且 $B \subseteq A$ ，则实数a的取值所组成的集合是 ${- 1 ， 2}$ . B、若不等式 $a x_{}^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 3 |}$ ，则不等式 $c x_{}^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 ${x | x < \frac{1}{3} 或 x > 1 |}$ . C、已知函数 $y = f (x + 1)$ 的定义域是 $[- 2 ， 3]$ ，则 $y = f (x - 1)$ 的定义域是 $[0 ， 5]$ . D、已知一元二次方程 $x^{2} - m x + 2 = 0$ 的两根都在 $(0 ， 2)$ 内，则实数 $m$ 的取值范围是 $(2 \sqrt{2} ， 3)$ .

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x) = f (2 - x)$ ，且当 $x \geq 1$ 时， $f (x) = {\begin{cases} \frac{x - 1}{x - 2} ， x \geq 1 且 x \neq 2 \\ 1 ， x = 2 \end{cases}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， 0] \cup [1 ， + \infty)$ B、 $f (x)$ 在(-∞，0)上为减函数 C、 $f (x)$ 在 $R$ 上有唯一的零点 D、若方程 $| f (x) | = m$ 有4个不同的解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $(x_{1} + x_{4}) x_{2} x_{3}$ 的取值范围是 $(0 ， \frac{3}{2})$

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三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若命题“ $\exists x \in R$ ，使得 $x^{2} + (a + 1) x + 4 < 0$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14. 函数 $f (x) = 2 \sqrt{x - 3} - x$ 的值域是.

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15. 已知实数 $a ， b$ 满足 $2_{}^{a} = 5_{}^{b} = m$ 且 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，则m=.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 3 x ， g (x) = \frac{x^{2} + 17}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ ，若 $\exists x_{1} \in [a - 1 ， a + 2]$ ， $\forall x_{2} \in [0 ， \sqrt{3}]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

17. 计算下列各式：

(1)、 $8_{}^{- \frac{2}{3}} + \sqrt{\frac{9}{4}} - {(\sqrt{3} - 1)}_{}^{0} + \sqrt[3]{{(- 3)}_{}^{3}} + e_{}^{l n 5}$ ；

(2)、 $\frac{l g 20 + l g 5 - l g 80}{1 - l g 8}$ .

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18. 已知集合 $A = {x | - 9 < x < - 1 |}$ ， $B = {x | (x + a_{}^{2}) (x + a - 1) < 0 |}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A ∩ C_{R}^{} B$ ；

(2)、 $p ： x \in A ， q ： x \in B$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要且不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知 $x > 1 ， y > 1 ， l g x + l g y = l g (x + y)$ .

(1)、求 $x + 2 y$ 的最小值；

(2)、求 $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{y - 1}$ 的最小值.

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20. 从以下三个条件中任意选择一个条件，“①设 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，且 $f (x) + g (x) = x_{}^{2} + x + \frac{4}{x} (x \neq 0)$ ；②已知 $2 f (x) + f (\frac{1}{x}) = 6 x + \frac{9}{x} (x \neq 0)$ ；③若 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的偶函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = - x - \frac{4}{x}$ ”，并解答问题：（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断并用定义证明函数 $f (x)$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上的单调性；

(3)、当 $x \in (2 ， + \infty)$ 时，函数 $f (x)$ 满足 $f (2 m - 1) \geq f (3 m - 4)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心 $x (x < x < 20)$ 厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与x²成反比，比例系数为9；对右脚的干扰度与400-x²成反比，比例系数为k，且当 $x = 10 \sqrt{3}$ 时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.07.

(1)、求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；

(2)、求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．

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22. 设a为实数，函数 $f (x) = 2 x - (x - a) | x - a |$ .

(1)、当a=0时，判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并说明理由；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， 1]$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围；

(3)、求 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上的最大值.

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