福建省福州市马尾区2024届高三上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1. 设复数 $z$ 满足 $z + i = 4 - i$ ，则 $\frac{z}{4 + 2 i} =$ （）

A、 $4 - 2 i$ B、 $4 + 2 i$ C、 $\frac{3 + 4 i}{5}$ D、 $\frac{3 - 4 i}{5}$

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2. 已知全集为 $U$ ，集合 $M$ ， $N$ 满足 $M \subseteq N \subseteq U$ ，则下列运算结果一定为 $U$ 的是（）

A、 $M ∪ N$ B、 $(∁_{U} N) ∪ (∁_{U} M)$ C、 $M ∪ (∁_{U} N)$ D、 $N ∪ (∁_{U} M)$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且 $\vec{c} = x \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{d} = 2 \vec{a} + (2 x - 3) \vec{b}$ ，若 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 共线，则实数 $x$ 的值为（）

A、2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、2或 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$ 或 $- \frac{1}{2}$

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4. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， $\overset{⌢}{A B}$ 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $C D ⊥ A B$ ．“会圆术”给出 $\overset{⌢}{A B}$ 的弧长的近似值s的计算公式： $s = A B + \frac{C D^{2}}{O A}$ ．当 $O A = 2 ， ∠ A O B = 60 °$ 时， $s =$ （）

A、 $\frac{11 - 3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{11 - 4 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9 - 3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{9 - 4 \sqrt{3}}{2}$

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5. 若 ${(2 - x)}^{10}$ 的展开式中二项式系数和为 $A$ ，所有项系数和为 $B$ ，一次项系数为 $C$ ，则 $A + B + C =$ （）

A、4095 B、4097 C、 $- 4095$ D、 $- 4097$

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6. 已知角 $θ$ 的大小如图所示，则 $\frac{1 + s i n 2 θ}{c o s 2 θ} =$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $- 4$ D、4

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7. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y + x y - 7 = 0$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、3 B、 $\sqrt{37} - 3$ C、4 D、6

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8. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 4$ ， $a_{n} + a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} + 2$ ，若 $[x)$ 表示大于 $x$ 的最小整数，如 $[2) = 3$ ， $[- 2.1) = - 2$ ，记 $b_{n} = [\frac{n (n + 1)}{a_{n}})$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前2022项之和为（）

A、4044 B、4045 C、4046 D、4047

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 已知直线 $l$ ： $(a^{2} + a + 1) x - y + 1 = 0$ ，其中 $a \in R$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $a = - 1$ 时，直线 $l$ 与直线 $x + y = 0$ 垂直 B、若直线 $l$ 与直线 $x - y = 0$ 平行，则 $a = 0$ C、直线 $l$ 过定点 $(0 ， 1)$ D、当 $a = 0$ 时，直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等

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10. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x - 2 s i n (\frac{π}{2} - x) c o s (\frac{π}{2} + x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为3 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 上单调递减

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11. 已知同底面的两个正三棱锥 $P - A B C$ 和 $Q - A B C$ 均内接于球 $O$ ，且正三棱锥 $P - A B C$ 的侧面与底面所成角的大小为 $\frac{π}{4}$ ，则下列说法正确的是（）.

A、 $P A ∥$ 平面 $Q B C$ B、设三棱锥 $Q - A B C$ 和 $P - A B C$ 的体积分别为 $V_{Q - A B C}$ 和 $V_{P - A B C}$ ，则 $V_{Q - A B C} = 4 V_{P - A B C}$ C、平面 $A B C$ 截球 $O$ 所得的截面面积是球 $O$ 表面积的 $\frac{4}{25}$ 倍 D、二面角 $P - A B - Q$ 的正切值为 $- \frac{5}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} l n (1 + x)$ ，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 的零点是 $(0 ， 0)$ B、不等式 $f (x) > 0$ 的解集是 $(0 ， + \infty)$ C、设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，则 $g (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上不是单调函数 D、对任意的 $s ， t \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (s + t) > f (s) + f (t)$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为2，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且6， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等差数列，则 $S_{5} =$ .

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14. $若 sin (\frac{π}{6} - α) = \frac{1}{3} ，则 cos (\frac{2 π}{3} + 2 α) =$ .

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15. 现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星（分割成6个不同区域）涂色，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的区域）的颜色不同，则不同的涂色方案共有.

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 为椭圆上一点，线段 $F_{1} P$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，若 $| P Q | = 2 | Q F_{1} |$ ，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，则椭圆的离心率为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长，且 $c = - 3 b c o s A$ .

(1)、求 $\frac{t a n A}{t a n B}$ 的值；

(2)、若 $c = 2$ ， $t a n C = \frac{3}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} = 5$ ， $S_{9} = 9$ ，数列 $b_{n} = | a_{n} |$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $b_{n}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量 $x$ （单位： $k g$ ）近似服从正态分布 $N (0.4 ， σ^{2})$ ，如图G4-1所示，已知 $P (x < 0.1) = 0.1$ ， $P (x < 0.3) = 0.3$ .

(1)、若从该苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的重量在 $(0.5 ， 0.7]$ 内的概率；

(2)、从这100个苹果中随机挑出8个，这8个苹果的重量情况如下：
为进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出3个，记随机选出的3个苹果中重量在 $[0.3 ， 0.7]$ 内的个数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.
重量范围（单位： $k g$ ）
$[0.1 ， 0.3)$
$[0.3 ， 0.5)$
$[0.5 ， 0.7]$
个数
2
4
2

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20. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = \frac{1}{2} A B$ ，点 $E$ 是棱 $A B$ 上一点，且 $\frac{A E}{E B} = λ$ .

(1)、证明： $D_{1} E ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、若二面角的 $D_{1} - E C - D$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，求 $λ$ 的值.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，焦距为2.

(1)、求籿圆的标准方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = k x + m (k ， m \in R)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $k_{O A} \cdot k_{O B} = - \frac{3}{4}$ .
①求证： $△ A O B$ 的面积为定值；
②椭圆 $C$ 上是否存在一点 $P$ ，使得四边形 $O A P B$ 为平行四边形？若存在，求出点 $P$ 横坐标的取值范围；若不存在，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x + s i n x$ .

(1)、设 $P$ ， $Q$ 是函数 $f (x)$ 图像上相异的两点，证明：直线 $P Q$ 的斜率大于0；

(2)、求实数 $a$ 的取值范围，使不等式 $f (x) ⩾ a x c o s x$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上恒成立.

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重量范围（单位： $k g$ ）	$[0.1 ， 0.3)$	$[0.3 ， 0.5)$	$[0.5 ， 0.7]$
个数	2	4	2