福建省福州市六校2023-2024学年高二上学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知直线 $l$ 过点 $A (3 - \sqrt{3} ， 6 - \sqrt{3})$ ， $B (3 + 2 \sqrt{3} ， 3 - \sqrt{3})$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 已知三棱锥 $O - A B C$ ，点M ， N分别为 $A B$ ， $O C$ 的中点，且 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c} - \vec{a})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{c} - \vec{a} - \vec{b})$

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3. 已知圆心为 $(- 2 ， 1)$ 的圆过点 $(0 ， 1)$ ，则该圆的标准方程是（）

A、 $(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ B、 $(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ C、 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ D、 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 1$

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4. 已知 $\vec{i}$ ， $\vec{j}$ ， $\vec{k}$ 是空间直角坐标系 $O - x y z$ 中 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴正方向上的单位向量，且 $\vec{O A} = 3 \vec{k}$ ， $\vec{A B} = - \vec{i} + \vec{j} - \vec{k}$ ，则点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(1$ ， $- 1$ ， $1)$ B、 $(- 1$ ， 1， $1)$ C、 $(1$ ， $- 1$ ， $2)$ D、 $(- 1$ ， 1， $2)$

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5. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $\vec{A B} = (0 ， 1 ， - 1)$ ， $\vec{A C} = (1 ， 4 ， 0)$ ， $\vec{A A_{1}} = (1 ， - 1 ， 4)$ ，则这个三棱柱的高 $h =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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6. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面BCD ， $B C ⊥ C D$ ，且 $A B = B C = C D$ ， M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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7. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4$ ，球 $O$ 是正方体的内切球， $M N$ 是球 $O$ 的直径，点 $G$ 是正方体表面上的一个动点，则 $\vec{G M} \cdot \vec{G N}$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 8]$ B、 $[0 ， 8)$ C、 $[0 ， 4]$ D、 $[0 ， 4)$

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8. 在平面直角坐标系中，过直线 $2 x - y - 3 = 0$ 上一点 $P$ 作圆 $C ： x^{2} + 2 x + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A 、 B$ ，则 $s i n ∠ A P B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 2)$ ， $\vec{b} = (6 ， - 3 ， 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (7 ， - 1 ， 4)$ B、 $\vec{a} - \vec{b} = (- 5 ， - 1 ， 0)$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ D、 $| \overset{\leftrightarrow}{a} | = \sqrt{5}$

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10. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + D x + E y + 3 = 0$ ，圆心在直线 $x + y - 1 = 0$ 上，且圆心在第二象限，半径为 $\sqrt{2}$ ，则（）

A、 $D = 2$ B、 $D = - 2$ C、 $E = 4$ D、 $E = - 4$

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11. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）

A、 $A C_{1} = 6 \sqrt{6}$ B、向量 $\vec{B_{1} C}$ 与 $\vec{A A_{1}}$ 的夹角是60° C、 $B D ⊥$ 平面 $A C C_{1}$ D、直线 $B D_{1}$ 与AC所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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12. 已知直线l： $λ x - y - λ + 1 = 0$ 和圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线l过定点 $(1 ， 1)$ B、对于λ∈R ，直线l与圆C相交 C、对于λ∈R ，圆C上恒有4个点到直线的距离为1 D、若 $λ < 0$ ，直线l与圆C交于A ， B两点，则 $| A B |$ 的最大值为4

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三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若直线 $3 x + m y + 1 = 0$ 与直线 $3 x + y - 1 = 0$ 平行，则这两平行线间距离为.

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14. 已知 $A (2 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 1 ， 0)$ ， $C (0 ， 0 ， 2)$ ，则点A到直线BC的距离为.

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15. 设圆 $C ： (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ ，直线 $l$ 经过原点且将圆 $C$ 分成 $1 ： 3$ 两部分，则直线 $l$ 的方程为.

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点M是棱BC的中点.

(1)、若点N为棱 $C C_{1}$ 的中点，则平面AMN截正方体的截面的面积为；

(2)、若点N是棱 $C C_{1}$ 上的一个动点，则点 $A_{1}$ 到平面AMN的距离的最小值为.

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四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 菱形 $A B C D$ 中， $A (- 4 ， 7) ， C (2 ， - 3) ， B C$ 边所在直线过点 $P (3 ， - 1) .$

(1)、求 $A D$ 边所在直线的方程；

(2)、求对角线 $B D$ 所在直线的方程．

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18. 已知圆 $C$ ： $(x + 2)^{2} + y^{2} = 5$ ，直线 $l$ ： $m x - y + 1 + 2 m = 0$ ， $m \in R$ ．

(1)、判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求弦 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程．

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19. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ， E为棱AD的中点， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $D B_{1} ⊥$ 平面 $B A_{1} C_{1}$ ；

(2)、求平面 $B A_{1} C_{1}$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成的角．

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20. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E ， M ， N分别是 $B C$ ， $A E$ ， $C D_{1}$ 的中点， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ .

(1)、求证： $M N$ ∥平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、试确定直线 $B B_{1}$ 与平面 $D M N$ 的交点F的位置，并求 $B F$ 的长.

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21. 如图，已知平面四边形 $A B C D$ 存在外接圆，且 $A B = 5$ ， $B C = 2$ ， $c o s ∠ A D C = \frac{4}{5}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $△ A D C$ 的周长的最大值．

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22. 已知圆C经过点 $E (0 ， 6)$ ， $F (5 ， 5)$ ，且圆心在直线 $l ： 3 x - 5 y + 9 = 0$ 上.

(1)、求圆C的方程.

(2)、过点 $M (0 ， 3)$ 的直线与圆C交于A ， B两点，问：在直线 $y = 3$ 上是否存在定点N ，使得 $k_{A N} = - k_{B N}$ （ $k_{A N}$ ， $k_{B N}$ 分别为直线AN ， BN的斜率）恒成立？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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