福建省福州市八县市一中2023-2024学年高二上学期数学11月期中联考试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知直线 $l ： 2 x - y - 1 = 0$ ，则直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $1$

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2. 圆 $O_{1} ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $O_{2} ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的位置关系是（）

A、相交 B、内切 C、外切 D、相离

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3. 若直线 $l$ 的一个方向向量为 $（ 1 ， - \sqrt{3} ）$ ，则直线 $l$ 的倾斜角 $θ$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若圆 $C_{1} ： (x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} = r^{2} (r > 0)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称圆为圆 $C_{2} ： x^{2} + (y + a)^{2} = 4$ ，则 $r$ 、 $a$ 的值分别为（）

A、2，3 B、2，-3 C、4，3 D、4，-3

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5. 已知三个向量 $\vec{m} = (4 ， 5 ， x)$ 、 $\vec{p} = (2 ， 2 ， 0)$ 及 $\vec{n} = (- 2 ， 0 ， 4)$ 共面，则 $x$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $3$

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6. 已知直线 $y = \sqrt{3} x$ 与椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点， $F$ 是椭圆的右焦点， $A F ⊥ B F$ ，则椭圆的离心率 $e$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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7. 班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：
已知椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ ，其左､右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线l与椭圆C切于点P ，且 $| P F_{1} | = 6$ ，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q ，则 $\frac{| F_{1} Q |}{| F_{2} Q |} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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8. 设点 $P$ 是圆 $C ：（ x - 3 ）^{2} + (y - 4)^{2} = 9$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $P A ， P B$ ，切点为 $A ， B$ ，则 $c o s ∠ A P B$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{31}{32}$ C、 $\frac{13}{18}$ D、 $\frac{40}{49}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 已知实数 $x ， y$ 满足圆 $C$ 的方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆心 $（ - 1 ， 0 ）$ ，半径为 $1$ B、过点 $(2 ， 0)$ 作圆 $C$ 的切线，则切线方程为 $x = 2$ C、 $\frac{y}{x + 1}$ 的最大值是 $\sqrt{3}$ D、 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值是4

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10. 三条直线 $l_{1} ： a x + 2 y + 8 = 0$ ， $l_{2} ： 4 x + 3 y - 10 = 0$ 与 $l_{3} ： 2 x - y - 10 = 0$ 不能围成三角形，则 $a$ 的所有可能值为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $- 4$

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11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (- 2 ， 0) ， B (2 ， 0)$ ，点 $P$ 满足 $P A 、 P B$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ，点 $P$ 的运动轨迹记为 $C$ .下列结论正确的（）

A、轨迹 $C$ 的方程 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ （ $x \neq \pm 2$ ） B、存在点 $P$ 使得 $∠ A P B = 9 0^{0}$ C、点 $M (1 ， 1) ， F (1 ， 0)$ ，则 $| P F | + | P M |$ 的最小值为 $4 + \sqrt{5}$ D、斜率为 $2$ 的直线与轨迹 $C$ 交于 $Q$ ， $S$ 两点，点 $N$ 为 $Q S$ 的中点，则直线 $O N$ 的斜率为 $- \frac{3}{8}$

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 4$ ，点 $M$ ， $N$ 分别在棱 $A B$ 和 $B B_{1}$ 上运动（不含端点），若 $D_{1} M ⊥ M N$ ，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $C_{1} - B_{1} D_{1} M$ 体积为定值 B、 $M N ⊥ 平面 A_{1} D_{1} M$ C、 $M N ⊥$ $N C$ D、线段 $D N$ 长度的最大值为 $\sqrt{33}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 4 ， x)$ ， $\vec{b} = (x ， 2 ， 6)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为.

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14. 已知直线 $l ： k x - y - k + 1 = 0$ 与圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 8$ 相交，则直线 $l$ 过的定点是；直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的最短弦长等于.

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15. 如图，已知平面 $α$ 与平面 $β$ 的夹角为 $6 0^{0}$ ，在平面 $α$ 与平面 $β$ 的交线 $m$ 上有两点 $A 、 B$ ，线段 $A C 、 B D$ 分别在平面 $α$ 与平面 $β$ 内，且都垂直于直线 $m$ ，若 $A C = 3$ ， $B D = 4$ ， $C D = \sqrt{73}$ ，则线段 $A B$ 的长度为.

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16. 若恰有两组的实数对 $(A ， B)$ 满足关系式 $\frac{| 2 A + B + 3 |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \frac{| 5 A - 2 B + 3 |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = t$ ，则符合题意的 $t$ 的值为.

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四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）

17. 如图在四面体 $A B C D$ 中， $A D = B D = 1$ ， $D C = 2$ ， $D C ⊥ D B ， D C ⊥ D A$ $∠ B D A = 6 0^{∘}$ ， $E$ 为线段 $A C$ 中点，

(1)、用基底 ${\vec{D A} ， \vec{D B} ， \vec{D C}}$ 表示向量 $\vec{B E}$ ，并求线段 $B E$ 的长度；

(2)、求异面直线 $D C$ 与 $B E$ 所成角的余弦值.

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18. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ，$ 点 $B_{2} ， D_{2}$ 分别在棱 $B B_{1} ，$ $D D_{1}$ 上，
$B B_{2} = D D_{2} = 1 ，$

(1)、证明： $A B_{2} / / C_{1} D_{2}$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $A B_{2} C_{1} D_{2}$ 的距离；

(3)、求平面 $A B_{2} C_{1} D_{2}$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值.

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19. 已知直线 $l$ 过点 $P (4 ， 3)$ ，

(1)、若直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是在 $y$ 轴上截距的2倍，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴正半轴交于点 $B$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{P B}$ 的最小值及取得最小值时直线 $l$ 的方程.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C$ 的圆心在 $y$ 轴上，

(1)、若圆 $C$ 过点 $A （ 4 ， 0 ）$ ､点 $B （ 0 ， - 2 ）$ ，求圆 $C$ 的方程；

(2)、若圆 $C$ 与直线 $l ： 4 x + 3 y - 24 = 0$ 相切，且原点 $O$ 不在圆外，求当圆C的面积最小时圆的方程.

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21. 如图，圆锥的底面圆上有 $A ， B ， C ， D$ 四点，四边形 $A B C D$ 是正方形，且 $A C = 2$ ，点 $E$ 在线段 $A G$ 上，若 $V_{A - B D E} = \frac{1}{4} V_{G - A B C D}$ ．

(1)、证明： $G C$ $/ /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、若 $△ A C G$ 为等边三角形，点 $F$ 在劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上运动，记 $G F$ 与平面 $E D B$ 所成的角为 $α$ ，求 $c o s α$ 的最大值．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距 $4$ ，且过点 $M （ 2 ， \frac{\sqrt{6}}{3} ）$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若斜率存在且不经过原点的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点 $(P ， Q$ 异于椭圆 $C$ 的上、下顶点），当 $△ O P Q$ 的面积最大时，求 $k_{O P} \cdot k_{O Q}$ 的值.

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