福建省福州市八县市一中2023-2024学年高三上学期数学11月期中联考试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 命题“ $\forall x \geq 2 ， x^{2} \geq 4$ ”的否定为（）

A、 $\forall x < 2 ， x^{2} < 4$ B、 $\forall x \geq 2 ， x^{2} < 4$ C、 $\exists x_{0} < 2 ， x_{0}^{2} < 4$ D、 $\exists x_{0} \geq 2 ， x_{0}^{2} < 4$

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2. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 4}{x} \leq 0} ， B = {y | y = \sqrt{x - 2}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）　

A、 $(0 ， 2]$ B、 $[2 ， 4]$ C、 $[0 ， 4]$ D、 $(0 ， 4]$

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3. 已知复数 $z$ 满足 $\frac{\bar{z}}{z} = i^{2023}$ ，则在复平面内 $z$ 对应的点在（）

A、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第二、三象限 D、第三、四象限

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4. 以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）

A、 $y = (\frac{2}{1 + 2^{x}} + 1) s i n x$ B、 $y = (\frac{2}{1 + 2^{x}} - 1) s i n x$ C、 $y = (\frac{2}{1 + 2^{x}} + 1) c o s x$ D、 $y = (\frac{2}{1 + 2^{x}} - 1) c o s x$

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5. 已知 $m ， n ， l$ 是不重合的三条直线， $α ， β ， γ$ 是不重合的三个平面，则（）

A、若 $m / / n$ ， $m \subset α$ ，则 $n / / α$ B、若 $l ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $l ⊥ m$ ，则 $α / / β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ ， $α ∩ γ = l$ ，则 $l ⊥ β$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$

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6. 如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，集古典美和现代美于一体，富有东方神韵和时代气息。其中扇面的圆心角为 $120 °$ ，从里到外半径以1递增，若这些扇形的弧长之和为 $90 π$ （扇形视为连续弧长，中间没有断开），则最小扇形的半径为（）

A、6 B、8 C、9 D、12

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7. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 1) x + a ， x < 1 \\ | 2 x - a | + \frac{3}{2} ， x \geq 1 \end{array}$ 满足对任意的 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{3}{2}]$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$

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8. 已知 $f (x) = a e^{x - 1} - l n x + l n a$ ， $g (x) = (1 - e) x$ ，当 $x > 0$ 时， $e f (x) \geq g (x)$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{e} ， 1)$ B、 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[e ， + \infty)$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知向量 $\vec{a} = (m ， - 1) ， \vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m = 1$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{13}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = 2$ C、“ $m < - \frac{1}{2}$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角”的充要条件 D、若 $m = - 1$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2})$

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10. 设 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ ，若 $f (1) = 1$ ， $f (2) = 2$ ， $f (3) = 3$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (4) = 4$ B、 $f (x)$ 无极值点 C、 $f (x)$ 的对称中心是 $(2 ， 2)$ D、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (\frac{k}{506}) = 4046$

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11. 如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2， $A B$ ， $C D$ 分别为上、下底面的直径， $A C$ ， $B D$ 为圆台的母线， $E$ 为弧 $A B$ 的中点，则（）

A、圆台的体积为 $\sqrt{3} π$ B、直线 $A C$ 与下底面所成的角的大小为 $\frac{π}{3}$ C、异面直线 $A C$ 和 $D E$ 所成的角的大小为 $\frac{π}{4}$ D、圆台外接球的表面积为 $12 π$

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12. 已知实数 $a ， b ， c$ 满足： $a + b + c = 0$ 且 $a b c = 2$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a > b > c$ ，则 $c > - 1$ B、若 $a > b > c$ ，则 $a \geq 2$ C、 $a b + b c + c a \leq - 3$ D、 $| a | + | b | + | c | \geq 4$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 不等式 $l o g_{2} x + l o g_{4} x < 3$ 的解集.

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14. 关于 $x$ 的方程 $s i n x = c o s 2 x$ 其最小14个正实数解之和为.

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15. 设 $S_{n}^{}$ 是数列 ${a_{n}^{}}$ 的前 $n$ 项和，写出同时满足下列条件数列 ${a_{n}^{}}$ 的一个通项公式：.
①数列 ${\frac{S_{n}^{}}{n}}$ 是等差数列；② $\forall n \geq 2$ ， $S_{n + 1}^{} + S_{n - 1}^{} > 2 S_{n}^{}$ ；③ $\exists n \in N_{}^{*}$ ， $S_{n}^{} < 0$

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16. 已知函数 $f (x) = | l n x |$ ，直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 是 $f (x)$ 的两条切线， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 相交于点 $Q$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $Q$ 点横坐标的取值范围是.

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 2]$ 上的最值.

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x - c o s ω x (ω > 0)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有且仅有2个极值点，求 $ω$ 的取值范围；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $g (x)$ 的单调递减区间．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ D A B = 6 0^{∘}$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = A D = 2$ ，且点 $E ， F$ 分别为 $A B$ 和 $P D$ 中点.

(1)、求证：直线 $A F / /$ 平面 $P E C$ ；

(2)、求平面 $P D E$ 与平面 $A F C$ 所成角的余弦值.

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20. 已知 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $\frac{s i n A}{s i n B + s i n C} = \frac{c - b}{b}$ .

(1)、若 $C = \frac{π}{3}$ ，求 $B$ ；

(2)、求 $\frac{a + c}{b}$ 的取值范围.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = - \frac{9}{4}$ ，且 $4 S_{n + 1} = 3 S_{n} - 9$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $3 b_{n} + n a_{n} = 0 (n \in N^{*})$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq λ b_{n} + 12$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x$ ， $a > 0$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}^{} > 0$ ， $x_{2}^{} > 0$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) + 3 > 0$ .

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