福建省福州市鼓楼区2023-2024学年高二上学期数学10月期中试卷

试卷更新日期：2023-11-27 类型：期中考试

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一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）

1. 在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（）

A、（2 $\sqrt{3}$ ， 4） B、（2，4） C、（4，+∞） D、（2 $\sqrt{3}$ ， 4）

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2. 已知{a_n}为等比数列，下面结论中正确的是（）

A、a₁+a₃≥2a₂ B、a₁²+a₃²≥2a₂² C、若a₁=a₃ ，则a₁=a₂ D、若a₃＞a₁ ，则a₄＞a₂

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3. 各项为正的等比数列{a_n}中，a₄与a₁₄的等比中项为2 $\sqrt{2}$ ，则log₂a₇+log₂a₁₁=（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是（）

A、a+ $\frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ B、a﹣ $\frac{1}{b} > b - \frac{1}{a}$ C、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$ D、 $\frac{2 a + b}{a + 2 b} > \frac{a}{b}$

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5. 若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据 $\sqrt{3}$ ≈1.732）（）

A、110米 B、112米 C、220米 D、224米

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6. 已知△ABC内接于单位圆，则长为sinA、sinB、sinC的三条线段（　　）

A、能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的 $\frac{1}{4}$ B、能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的 $\frac{1}{4}$ C、能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的 $\frac{1}{4}$ D、不一定能构成三角形

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7. 已知条件p：x≥y≥0，条件q： $\sqrt{x} \geq \sqrt{y}$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 在实数集上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣1，1） B、（0，2） C、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{3}{2} ， \frac{1}{2})$

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9. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q = \frac{1}{2}$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{S_{3}}{a_{3}}$ （）

A、5 B、7 C、8 D、15

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10. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y₀)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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11. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（）

A、平行 B、相交成60°角 C、异面成60°角 D、异面且垂直

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12. 设等差数列{a_n}（n∈N⁺）的前n项和为S_n ，该数列是单调递增数列，若S₄≥10，S₅≤15，则a₄的取值范围是（）

A、（ $\frac{5}{2} ， 4$ ] B、（ $\frac{5}{2} ， + \infty$ ] C、（﹣∞，4] D、（3，+∞）

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二、填空题：（共4小题，每小题4分，共16分）

13. 已知公差不为0的等差数列{a_n}，其前n项和为S_n ，若a₁ ， a₃ ， a₄成等比数列，则 $\frac{S_{3} - S_{2}}{S_{5} - S_{3}}$ 的值为．

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14. 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于.

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15. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的两个焦点，点M在椭圆上，若 $△ M F_{1} F_{2}$ 是直角三角形，则△ $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积等于．

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16. 下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号.（写出所有真命题的序号）。
①设A，B为两个定点，若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；
②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；
③方程 $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{35} = 1$ 有相同的焦点

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三、解答题（共6小题，每题12分，共72分）

17. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°， $A B = \sqrt{3}$ ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°

(1)、若 $P B = \frac{1}{2}$ ，求PA；

(2)、若∠APB=150°，求tan∠PBA．

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18. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|= $\sqrt{17}$ ， |AF|=3，求此抛物线的标准方程.

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19. 已知命题P：（1﹣x）（x+4）≥0，q：x²﹣6x+9﹣m²≤0，m＞0，若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围．

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20. 已知{a_n}是首项为a₁ ，公差为d的等差数列，S_n是其前n项的和，且S₅=5，S₆=﹣3．

(1)、求数列{a_n}的通项a_n及S_n；

(2)、设{b_n﹣2a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n ．

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21. 已知函数f（x）=x²﹣2x﹣8，g（x）=2x²﹣4x﹣16，

(1)、求不等式g（x）＜0的解集；

(2)、若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．

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22. 设f（x）=﹣ $\frac{1}{3}$ x³+x²+2ax

(1)、若f（x）在（ $\frac{2}{3}$ ， +∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．

(2)、当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣ $\frac{16}{3}$ ，求f（x）在该区间上的最大值.

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