【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之实数的运算

试卷更新日期：2023-11-25 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt[3]{- 27} = - 9$ B、 ${(- \sqrt{3})}^{2} = 3$ C、 $2^{- 1} = - \frac{1}{2}$ D、 ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2} = 5$

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2. 计算 $3^{- 1} \times 3$ 的结果为（）

A、1 B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 1$

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3. 若x为实数，在 $(\sqrt{3} + 1) □ x$ 的“ $□$ ”中添上一种运算符号（在＋，－，×，÷中选择）后，其运算的结果是有理数，则x不可能的是（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $1 - \sqrt{3}$

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4. 若 $\sqrt[3]{3}$ 取1.442，计算 $\sqrt[3]{3} - 3 \sqrt[3]{3} - 98 \sqrt[3]{3}$ 的结果是（）

A、-100 B、-144.2 C、144.2 D、-0.01442

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5. 计算： $| - \frac{1}{2} | - \sqrt{\frac{1}{4}}$ 的结果是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、-1

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6. 下列计算正确的是（）

A、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ B、 $a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{4}$ C、 $x^{2} y \div \frac{1}{y} = x^{2} (y \neq 0)$ D、 ${(- 2 x^{2})}^{3} = - 8 x^{6}$

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7. 下列运算中，错误的个数为（）
① $\sqrt{1 \frac{25}{144}}$ =1 $\frac{5}{12}$ ；② $\sqrt{{(- 4)}^{2}}$ =±4；③ $\sqrt{- 2^{2}}$ =﹣ $\sqrt{2^{2}}$ ；④ $\sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{4}}$ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{4}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b=a²﹣a×b+b，如：3★5=3²﹣3×5+5，若x★2=10，则实数x的值为（）

A、﹣4或﹣l B、4或﹣l C、4或﹣2 D、﹣4或2

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9. 下列各数中，与 $\sqrt{3}$ 的积为有理数的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、3 $\sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、2﹣ $\sqrt{3}$

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10. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为 $\sqrt{2}$ ，则最后输出的结果是（）

A、14 B、16 C、8+5 $\sqrt{2}$ D、14+ $\sqrt{2}$

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二、填空题

11. $\sqrt{9} - 3^{- 1} =$ ．

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12. 计算 $4^{- 1} - \sqrt{\frac{1}{16}} + {(3 - \sqrt{2})}^{0}$ 的结果是．

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13. 计算： $- 1^{2} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} + | - 2022 | =$ ．

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14. 计算 $\frac{\sqrt{50} - \sqrt{18}}{\sqrt{2}} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{- 2} =$ ．

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15. 计算： $\frac{\sqrt{12} \times \sqrt{2}}{\sqrt{3}} - 2 s i n 4 5^{°} =$

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三、计算题

16. 计算： $\frac{1}{3} \sqrt{27} - 2^{- 2} + (π - 5)^{0} + | \sqrt{3} - 3 |$ ．

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17. 计算： $- 1^{2023} + \sqrt{27} - (- \frac{1}{2})^{0} + 2 \div (- \frac{1}{2}) .$

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18. 计算： $1^{2023} + \sqrt{9} - 2 c o s 6 0^{∘} - (π - 3)^{0} - (- 3) \times 2$ ．

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四、解答题

19. 先化简，再求值： $(1 + \frac{2 a - 1}{a + 1}) \div \frac{a}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = {(\frac{1}{2})}^{- 1} - \sqrt{8} + 4 c o s 45 °$ ．

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20. 如果ax+b=0，其中a，b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．
（1）如果（a﹣2） $\sqrt{2}$ +b+3=0，其中a、b为有理数，试求a，b的值；
（2）如果（2+ $\sqrt{2}$ ）a﹣（1﹣ $\sqrt{2}$ ）b=5，其中a、b为有理数，求a+2b的值．

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21. 先化简，再求值：
已知 $\frac{x - 2}{x + 1} \div (\frac{3}{x + 1} - x + 1)$ ，其中 $x = (π - 3)^{0} + {(- \frac{1}{3})}^{- 1} + \sqrt{12} - 2 s i n 60 °$ ．

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22. 已知a，b为无理数，请给出具体的a与b的值，使a+b与ab同时为有理数．

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五、综合题

23.

(1)、计算：（ $\sqrt{3}$ ）²+|﹣4|﹣（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣¹；

(2)、化简：（1+ $\frac{a}{2 - a}$ ）÷ $\frac{4 - a^{2}}{a^{2} - 4 a + 4}$ ，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值.

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24. 定义新运算：对于任意实数a，b（其中a≠0），都有a⊗b= $\frac{1}{a}$ ﹣ $\frac{a - b}{a}$ ，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如2⊗3= $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{2 - 3}{2}$ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ =1．

(1)、求（﹣2）⊗3的值；

(2)、若x⊗2=1，求x的值．

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25. 阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i²=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；
（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i²=2+（﹣1+2）i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：

(1)、填空：i³= ， i⁴=；

(2)、计算：（1+i）×（3﹣4i）；

(3)、计算：i+i²+i³+…+i²⁰¹⁷ ．

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