浙江省金华市五校2023-2024学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-24 类型：期中考试

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一、单选题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列图形中是旋转对称图形但不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$ ，则 $\frac{a}{b - a}$ ＝（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 如图，某天气预报软件显示“义乌市明天的降水概率为85%”对这条信息的下列说法中，正确的是（）

A、义乌市明天将有85%的时间下雨 B、义乌市明天将有85%的地区下雨 C、义乌市明天下雨的可能性较大 D、义乌市明天下雨的可能性较小

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4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）

A、△AOD∽△BOC B、△AOB∽△DOC C、CD=BC D、BC•CD=AC•OA

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5. 把二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 1$ 的解析式配成顶点式为（）

A、 $y = {(x – 1)}^{2}$ B、 $y = {(x – 1)}^{2} - 2$ C、 $y = {(x + 1)}^{2} + 1$ D、 $y = {(x + 1)}^{2} - 2$

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6. 如图，小华同学设计了一个圆的直径的测量器．标有刻度的两把尺子 $O A$ ， $O B$ 在 $O$ 点被钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 $O$ 点靠在圆周上，尺子 $O A$ 与圆交于点 $F$ ，尺子 $O B$ 与圆交于点 $E$ ，读得 $O F$ 为个单位长度， $O E$ 为个单位长度．则圆的直径为（）

A、 $25$ 个单位长度 B、 $14$ 个单位长度 C、 $12$ 个单位长度 D、 $10$ 个单位长度

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7. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴分别交于 $A ， B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点， $O A = O C$ ，则由抛物线的特征写出如下结论中错误的是（）

A、 $a b c > 0$ B、 $4 a c - b^{2} > 0$ C、 $a - b + c > 0$ D、 $a c + b + 1 = 0$

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8. 如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径(点C与点A不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E，G为半圆中点，当点C在 $\overset{⌢}{A G}$ 上运动时，设 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为 $x$ ， CF+DE=y ，则下列图象中，能表示y与 $x$ 的函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知二次函数y=x²-2x+m的图象C与y轴交于点M，过点M作直线l平行于x轴，将抛物线C位于直线l下方的部分翻折至直线l上方．若变换后的图象与x轴有4个交点，则m的取值范围为（）

A、m＞—1 B、-1＜m＜0 C、-1≤m≤0 D、-1≤m＜0

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10. 如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝x ， ∠BAC＝α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：
①若α＝60°，则AD的最大值为 $2 \sqrt{7}$ ；
②若α＝60°，△ABC∽△CBD ，则OD的长为 $2 \sqrt{3}$ ；
③若α＝45°，BC与OD相交于E ，则点E不一定是△ABD的重心；
④若△ABC∽△BCD ，则当x＝2时，AC+CD取得最大值．其中正确的为（）

A、①③ B、①②④ C、③④ D、①③④

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 已知抛物线的解析式为 $y = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + 1$ ，则该抛物线的顶点坐标是．

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12. 一个扇形的弧长为 $4 π$ ，面积为 $12 π$ ，则这个扇形的半径是．

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13. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的大约有个.

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14. 如图，要拧开一个边长a=18mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要mm..

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15. 关于抛物线 $y = x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - m$ ，与x轴交于A、B两点（A在B左侧），若点P在抛物线上，且满足 $S_{△ P A B} = a$ （a为常数）的点有且只有3个，则a的值为．

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16. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC ， ∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝3，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则AD的长为， BM²+2BN²的最小值是.

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三、解答题解答题（本题有8小题，共66分）

17. 如图，点 $D$ 在等边 $△ A B C$ 的 $B C$ 边上， $△ A D E$ 为等边三角形， $D E$ 与 $A C$ 交于点 $F$ ．求证： $△ A B D ∽ △ D C F$ ．

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18. 如图①、图②都是 $6 \times 6$ 的网格，每个小正方形的顶点称为格点．点 $A$ 、 $O$ 均在格点上．图①、图②中的点 $A$ 在 $⊙ O$ 上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，所画图形的顶点均在格点上，并保留作图痕迹．

(1)、在图①中画一个 $⊙ O$ 的内接正方形 $A B C D$ .

(2)、在图②中画一个 $⊙ O$ 的内接四边形 $A B C D$ ，使该四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，且点 $O$ 在该四边形内部.

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19. 一个口袋中有3个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、3，从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．

(1)、求第一次摸出的球上的数字为奇数的概率；

(2)、请用树状图或列表法求两次摸出的球上的数字之和不小于3的概率．

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20. 如图，抛物线y＝x²+bx-3与x轴交于A ， B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．

(1)、求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)、点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以点C为圆心， $C A$ 长为半径的圆交 $A B$ 于点D．

(1)、若 $∠ B = 25 °$ ，求 $\overset{⌢}{A D}$ 的度数；

(2)、若D是 $A B$ 的中点，且AB=4，求阴影部分（弓形）的面积.

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22. 小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（ $1 \leq x \leq 15$ 且 $x$ 为整数）时每盒成本为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：

(1)、求p与x的函数关系式；

(2)、若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式；

(3)、请你帮小张求出第几天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？

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23. 我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函数 $y = \frac{c}{x} （ c \neq 0 ）$ 图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax²+bx+c为一次函数y＝ax+b与反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．

(1)、若二次函数y＝2x²+6x+8是一次函数y＝ax+b与反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 的“衍生函数”，则a＝， b＝， c＝．

(2)、直接写出一次函数y＝x+b和反比例函数 $y = \frac{c}{x}$ 的“衍生函数”的表达式，若该“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为4，求出“靶点”Q的坐标；

(3)、若一次函数y＝ax+b（a＞b＞0）和反比例函数 $y = - \frac{5}{x}$ 的“衍生函数”经过点（2，5）．试判断一次函数y＝ax+b图象上“基点”的个数，并说明理由；

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24. 在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为B（-2， $\sqrt{3}$ ），E（4，0），过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为（4，m），连接AB ，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA′，在射线BA′上取点C ，构造Rt△ABC ，使得∠BAC＝90°．

(1)、如图1，当m＝- $\sqrt{3}$ 时，求直线AB的函数表达式．

(2)、当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标．

(3)、已知点B关于原点O的对称点是点D ，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使△ACD与△ABC相似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

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