浙江省宁波市海曙区宁波市海曙区十校联考2023-2024学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2023-11-24 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）

1. 若 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值等于（）．

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、5

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2. 下列事件中是必然事件的是（）

A、拔苗助长 B、瓮中捉鳖 C、海底捞月 D、守株待兔

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3. 如图，能使 $△ A B C ∽ △ A D E$ 成立的条件是（）

A、 $∠ A = ∠ A$ B、 $∠ A D E = ∠ A E D$ C、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$ D、 $\frac{A B}{A E} = \frac{B C}{E D}$

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4. 由二次函数 $y = - (x - 1)^{2} + 1$ ，可知下列说法正确的是（）

A、其最小值为1 B、其图像的对称轴为直线 $x = - 1$ C、当 $x \leq 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 D、其图像与 $y$ 轴的交点为 $(0 ， 1)$

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5. 下列说法正确的是（）

A、平分弦的直径垂直于弦 B、不在同一直线上的三点确定一个圆 C、直径是弦，弦是直径 D、长度相等的弧是等弧

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中， $∠ O A C + ∠ C = 50 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $45 °$

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于 $E$ ，若 $C D = 12$ ， $B E = 2$ ，则直径 $A B$ 的长为（）

A、10 B、12 C、15 D、20

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为线段 $C D$ 上一点且 $C E = \frac{1}{4} C D$ ，连结 $A C$ ， $B E$ 交于点 $F$ ，分别作 $A C$ ， $B E$ 的中点M ， N ，连结 $M N$ ，若 $A B = 4$ ，则 $M N$ 为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象过点 $(- 2 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b + 2 a = 0$ ；③ $3 a + c < 0$ ；④当 $y \leq 0$ 时， $x$ 的取值范围是 $- 2 \leq x \leq 4$ ；其中正确的个数为（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

10. 一道你完全不会的数学选择题，你做对的概率为.

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11. 把抛物线 $y = (x - 2)^{2} - 1$ 先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为.

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12. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是线段 $A B$ 上一点，连结 $A C$ 、 $D E$ 交于点 $F$ .若 $\frac{A E}{E B} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{S_{△ A D F}}{S_{△ A E F}} =$ .

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13. 如图，在半径为2的扇形 $O A B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ，将扇形 $O A B$ 沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧 $A B$ 上，折痕交 $O A$ 于点C ，则图中阴影部分的周长是.

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14. 点 $A (m + 1 ， y_{1})$ ， $B (2 m ， y_{2})$ 都在二次函数 $y = m (x - m)^{2} + n$ 的图象上.若 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围为.

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15. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为圆上一点，连结 $B C$ ， D ， E分别为 $O B$ ， $B C$ 的中点， $A B = 4$ ，若 $F$ 为弧 $A B$ 上的三等分点，且靠近 $B$ 点，连结 $E F$ ，则 $E F$ 的最小值为.

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三、解答题（本大题共8小题，共66分.）

16. 一个不透明的袋中装有分别标着汉字“杭”、“州”、“亚”、“运”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球。

(1)、从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“杭”的概率是.

(2)、从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图（或列表法）表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好能组成“亚运”的概率。

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17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形.

(1)、如图1，请在图1中标出 $△ A B C$ 的外接圆的圆心O的位置；

(2)、请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似。

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18. 如图，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是弦， $A B ⊥ C D$ 于E ， $O F ⊥ A C$ 于F ，连接 $O C$ ， $C B$ ， $B E = O F$ .

(1)、求证： $△ A F O ≌ △ C E B$ ；

(2)、若 $B C = 10 c m$ ，求 $C D$ 的值及阴影部分的面积.

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19. 已知某二次函数图象上两点坐标分别为 $A (0 ， 3)$ ； $B (2 ， 3)$ ，与x轴的一个交点为 $C (3 ， 0)$ ， D为顶点坐标.

(1)、求出该二次函数表达式

(2)、求出 $△ A C D$ 的面积

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20. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点D ，交 $A C$ 于点E ，连结 $A D$ ， $B E$ 相交于点F.

(1)、求证： $△ B C E ∽ △ A F E$

(2)、若 $C E = 6$ ， $C D = 5$ ，求 $A F$ 的长。

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21. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，设每天的销售利润为W元.

(1)、当销售价为每件30元时，每天的销售量为多少件；

(2)、若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？

(3)、求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？

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22.

(1)、【基础巩固】
如图1，在 $△ A B C$ 中，D ， E分别在 $A B$ ， $A C$ 上，连结DE，若 $∠ A D E = ∠ C$ ，求证： $A D \cdot A B = A E \cdot A C$ .

(2)、【尝试应用】
如图2，在 $△ A B C$ 中，在 $A C$ 上取一点E ，以 $A E$ 为一边构造平行四边形 $A D E F$ ，使点D ， F恰好落在 $A C$ ， $B C$ 上，连结 $D E$ ，若 $∠ D E F = ∠ C$ ， $A D = 4$ ， $B D = 2$ ，求 $A C$ 的长.

(3)、【拓展提高】
如图3，在 $△ A B C$ 中，在 $A C$ 上取一点E ，以 $A E$ 为一边构造平行四边形 $A D E F$ ，使点F恰好落在 $B C$ 上，连结 $D E$ ， $B D$ ，若 $∠ D E F = ∠ C$ ， $∠ E F C = ∠ A B D$ ， $A E = 4$ ， $C E = 2$ ，求 $A B$ 的长。

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23. 如图1， $⊙ O$ 为四边形 $A C B D$ 的外接圆， $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $E$ ，且 $A B ⊥ C D$ ，连结 $O B$ ，设 $∠ B A C = α$ .

(1)、用含 $α$ 的代数式表示 $∠ O B C$ .

(2)、如图2，连结 $O A$ ，交 $C D$ 于点 $F$ ，若 $A C / / O B$ ，求证： $△ A C B ≌ △ A F D$ .

(3)、在（2）的基础上，当 $O B = 4$ ， $\frac{S_{△ O B F}}{S_{△ A B F}} = \frac{1}{3}$ 时，求出 $B D$ 的值.

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