浙江省杭州市十三中教育集团期中考试2023-2024学年九年级上学期数学11月期中试卷

试卷更新日期：2023-11-24 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 已知 $2 a = 3 b (a b \neq 0)$ ，则下列各式正确的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$ C、 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ D、 $\frac{a}{2} = \frac{3}{b}$

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2. 下列事件中，属于必然事件的是（）

A、在一个装着白球和黑球的袋中摸出红球 B、三角形三个内角的和小于180° C、在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D、若a是实数，则a²≥0

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3. 将二次函数y＝3x²的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为（）

A、y＝3(x－2)²+4 B、y＝3(x+2)²+4 C、y＝3(x+2)²－4 D、y＝3(x－2)²－4

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4. 如图，直线l₁∥l₂∥l₃ ，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则DF＝（）

A、5 B、6 C、8 D、9

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5. 下列命题正确的是（）

A、三个点确定一个圆 B、圆是轴对称图形，其对称轴是直径 C、90°的圆周角所对的弦是直径 D、平分弦的直径垂直于弦

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6. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O ，连结OC ， OD ，则∠COD＝（）

A、72° B、60 C、54 D、48°

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7. 已知m=6，关于x的一元二次方程(x+3)(x－4)－m＝0的解为x₁ ， x₂（x₁＜x₂），则下列结论正确的是（）

A、x₁＜－3＜4＜x₂ B、－3＜x₁＜4＜x₂ C、－3＜x₁＜x₂＜4 D、x₁＜－3＜x₂＜4

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8. 为迎接校庆，我校音乐社团购买了一种乐器，如图，乐器上的一根弦AB=60cm ，两个端点A ， B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C ， D之间的距离为（）

A、( $30 \sqrt{5} - 30$ )cm B、( $100 - 30 \sqrt{5}$ )cm C、( $60 \sqrt{5} - 30$ )cm D、( $60 \sqrt{5} - 120$ )cm

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9. 如图，抛物线y₁＝a(x+2)²－3与y₂＝ $\frac{1}{2}$ (x－3)²+1相交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ， C.有下列结论：①无论x取何值，y₂的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y₂－y₁=5；④2AB=3AC ，其中正确的有（）

A、①② B、①③ C、③④ D、①④

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10. 已知等腰直角三角形OAC ， ∠OAC＝90°，以O为圆心，OA为半径的圆交OC于点F ，过点F作AC的垂线交⊙O于点E ，交AC于点B.连结AE ，交OC于点D ，若OD＝ $1 + 2 \sqrt{2}$ ，则AB的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} + 2$

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二、填空题（每小题4分，共24分）

11. 已知⊙O的面积为25π，点P在圆上，则OP= ．

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12. 在三张完全相同的卡片上，分别画有正三角形、正方形、正五边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是．

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13. 已知二次函数y=x²－4x+5，则其顶点关于y轴对称的点的坐标为．

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14. 已知△ABC的边BC= $4 \sqrt{2}$ ，且△ABC内接于半径为4cm的⊙O ，则∠A的度数为．

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15. 对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a ，则称a是这个函数的幸运数．已知二次函数y＝x²+4x+m ．

(1)、若5是此函数的幸运数，则m的值为．

(2)、若此函数有两个相异的幸运数a ， b ，且a＜2＜b ，则m的取值范围为．

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16. 如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，∠ABC=30°，弦EF过AB边的中点D ，且EF∥BC ，若BC＝ $2 \sqrt{3}$ ，则外接圆的半径为， EF=.

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三、解答题（共66分）

17. 如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－1，2），B（－3，4），C（－2，6）在给出的平面直角坐标系中：

(1)、画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB₁C₁；并直接写出B₁ ， C₁的坐标；

(2)、计算点B旋转到点B₁位置时，经过的路径弧BB₁的长度．

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18. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的1个黄色球和若干个白色球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到黄球的概率是 $\frac{1}{3}$ .

(1)、白球的个数为个.

(2)、现从盒子中摸球，摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球.请通过列表或画树状图的方法，求两次摸到相同颜色球的概率.

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19. 如图，△ABC∽△ACD ．

(1)、若CD平分∠ACB ， ∠ACD=40° ，求∠ADC的度数.

(2)、若AD＝2，BD＝3，求AC的长．

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20. 如图，⊙O的直径BC为6cm ，弦AC为3cm ． ∠CAB的平分线交⊙O于点D.

(1)、求∠CBD的度数.

(2)、求阴影部分的面积.

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21. 如图，小明、小红两人分别跑步从相距5km的A ， C两地同时出发，各自沿箭头所指方向前进.已知小明的速度是8km/h ，小红的速度是6km/h ，且当小明到达C地时两人停止运动，且AC⊥CD.设小明运动的时间为t(h)，小明与小红的距离为s(km).

(1)、写出s与t的关系式.

(2)、当小明与小红出发多少时间后，两人相距离 $\sqrt{13}$ 千米？

(3)、出发多少时间后两人相距最近？最近距离为多少千米？

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22. 如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O ，隧道的水平宽AB为24m ， AB离地面的高度AE＝10m ，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m.若在拱顶的M ， N处安装照明灯，且M ， N离地面的高度相等，都为17m.

(1)、求圆弧形拱顶的半径的长度.

(2)、求MN的长度.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x²－2ax+3a ，顶点坐标为（m ， n）．

(1)、若函数图象关于直线x＝1对称，求函数的表达式；

(2)、求n的最大值；

(3)、是否存在实数a(a>1)，使得当1≤x≤4时，二次函数的最大值为最小值的2倍，若存在，求出a；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，△ABC内接于⊙O ， ∠CAB＝90°+∠CBA

(1)、若∠CBA＝30°，求∠CBO的度数；

(2)、延长BO交⊙O于点D.
①求证：点C是弧AD的中点.
②若AC＝3，BC＝4，求点O到AB的距离.

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