沪科版数学九年级上册第23.1锐角的三角函数（专题汇编）

试卷更新日期：2023-11-24 类型：同步测试

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一、锐角三角函数值计算

1.

(1)、 $2 s i n 60 ° - t a n 30 °$

(2)、 $2 c o s 30 ° - t a n 45 ° - \sqrt{{(1 - t a n 60 °)}^{2}}$

(3)、 $s i n 30 ° + 4 c o s 30 ° \cdot t a n 60 ° - c o s^{2} 45 °$

(4)、 $2 c o s 60 ° - t a n 45 ° + \frac{4 s i n^{2} 45 °}{t a n 60 ° - 1}$

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2. 计算： $\frac{2 s i n 3 0^{°} + \sqrt{3} t a n 6 0^{°}}{2 t a n 4 5^{°}} + \frac{2 \sqrt{3} c o s 3 0^{°} - 2 s i n 4 5^{°}}{\sqrt{3} t a n 3 0^{°}}$

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3. 计算

(1)、 $s i n 30 ° - 3 t a n 30 ° + 2 c o s 30 ° + t a n 45 °$ ；

(2)、 $c o s^{2} 45 ° - \frac{c o s 60 °}{1 - s i n 30 °} + t a n^{2} 45 ° - t a n^{2} 60 °$ ．

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4. 计算 $2 c o s^{2} 4 5^{∘} - \sqrt{{(t a n 6 0^{∘} - 2)}^{2}} - {(s i n 6 0^{∘} - 1)}^{0} + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ .

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二、与解直角三角形相关作图题

5. 如图，AD是△ABC的中线，tanB= $\frac{1}{4}$ ，cosC= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，AC= $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(1)、求BC的长；

(2)、作出△ABC的外接圆（尺规作图，保留痕迹，不写作法），并求外接圆半径．

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6. 如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段 $A B$ 的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹.

(1)、在图①中画一条射线 $A C$ ，使 $\tan ∠ B A C = \frac{1}{2}$ .

(2)、在图②中画一条射线 $A D$ ，使 $\tan ∠ B A D = \frac{2}{3}$ .

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7. 图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上，按下列要求画出图形．

(1)、在图①中找到一个格点C ，使∠ABC是锐角，且tan∠ABC＝ $\frac{1}{4}$ ，并画出△ABC ．

(2)、在图②中找到一个格点D ，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1，并画出△ABD ．

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三、与反比例函数、相似结合

8. 如图，点B是双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）上的一点，点A在x轴上，且AB＝2，OB⊥AB ，若∠BAO＝60°，求k的值．

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9. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与y轴交于点A ，与反比例函数的图象交于点 $B (1 ， a)$ 和点 $C (3 ， 2)$ ，连接 $O B ， O C$ ．

(1)、求 $tan ∠ A O B$ 的值；

(2)、求 $△ B O C$ 的面积．

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10. 如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，点A ， B在x轴上，且 $P A ⊥ P B$ ，垂足为P ， PA交y轴于点C ， $A O = B O = B P$ ， $△ A B P$ 的面积是2．则k的值是（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11. 如图，点A在双曲线 $y = - \frac{k}{x} (x < 0)$ 上，连接 $O A$ ，作 $O B ⊥ O A$ ，交双曲线 $y = \frac{9}{x} (x > 0)$ 于点B ，连接 $A B$ ．若 $\sin B = \frac{4}{5}$ ，则k的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{9}{4}$ D、16

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12. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y ＝ k x ＋ 4$ 与y轴交于点C，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ ，在第一象限内的图像交于点B，连接 $O B$ ，若 $S_{△ O B C} = 4$ ， $t a n ∠ B O C = \frac{1}{3}$ ，则m的值是（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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四、与二次函数，相似结合

13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} - a x$ 经过点 $(5 ， 5)$ ，顶点为A，连结 $O A$ ．

(1)、求a的值．

(2)、求A的坐标．

(3)、P为x轴上的动点，当 $t a n ∠ O P A = \frac{1}{2}$ 时，请直接写出OP的长．

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14. 如图，直线 $y = x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于 $C$ ，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A$ 、 $C$ 两点，与 $x$ 轴正半轴交于点 $B$ ， $M$ 为抛物线的顶点，连接 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式及顶点 $M$ 的坐标；

(2)、如图 $1$ ， $P$ 点为直线 $A C$ 上方的抛物线上的一点，连接 $P A$ 、 $P C$ 、 $P O$ ， $P O$ 交 $A C$ 于点 $Q$ ，若 $P O$ 将 $△ A P C$ 的面积分为 $1$ ： $2$ 两部分，求点 $Q$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ，若点 $N$ 是第三象限的抛物线上一点，连接 $N M$ ，交直线 $A C$ 于 $E$ ，当 $∠ N E C = ∠ B C M$ 时，求点 $N$ 的坐标；

(4)、在(3)的条件下，若 $F$ 是 $y$ 轴上的一个动点，请直接写出 $N F + \frac{\sqrt{10}}{10} C F$ 的最小值．

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五、胡不归最值相关

15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 4$ ， $∠ A = 60 °$ ， $B D ⊥ A C$ 交 $A C$ 于点D ， P为线段 $B D$ 上的动点，则 $P C + \frac{1}{2} P B$ 的最小值为．

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16. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $M$ 为对角线 $B D ($ 不含点 $B)$ 上任意一点，则 $A M + \frac{1}{2} B M$ 的最小值为．

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六、与勾股定理相关

17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，连接 $B E$ ，已知 $D E = 2$ ．

(1)、若 $t a n C = \frac{1}{2}$ ，求 $A B$ 的长度；

(2)、若 $∠ C = 30 °$ ，求 $s i n ∠ B E A$ ．

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18. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D是 $A B$ 的中点， $E D ⊥ A B$ 交AC于点E， $t a n ∠ E B C = \frac{3}{4}$ ．求 $∠ A B E$ 的正切值．

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，延长斜边BC到点D，使 $C D = \frac{1}{2} B C$ ，联结AD，如果 $t a n B = \frac{4}{3}$ ，求 $t a n ∠ C A D$ 的值．

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20. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= $\frac{5}{13}$ ，D在BC边上，且∠ADC=45°，AC=5．求∠BAD的正切值．

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21. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 都在这些小正方形的顶点上， $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $P$ ，则 $t a n ∠ A P D$ 的值为．

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22. 如图，在正方形网格中 $.$ 每个小正方形的边长都是 $1$ ，小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，则 $∠ B A C$ 的正切值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B、 $\frac{1}{5}$
C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
D、 $\frac{1}{2}$

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B D ⊥ A C$ 于 $D$ ， $B E$ 平分 $∠ A B D$ 交 $A C$ 于 $E$ ， $s i n A = \frac{3}{5}$ ， $B C = 2 \sqrt{10} .$ 则 $A E$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $8$ D、 $10$

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24. 如图，点 $E$ 是矩形 $A B C D$ 纸片边 $C D$ 上一点，如果沿着 $A E$ 折叠矩形纸片，恰好使点 $D$ 落在边 $B C$ 上的点 $F$ 处，已知 $B F = 3 c m$ ， $s i n ∠ B A F = \frac{3}{5}$ ，那么折痕 $A E$ 的长是．

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七、综合题

25. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式不一定成立的（）

A、a＝csinA B、a＝btanA C、 $c = \frac{b}{\cos B}$ D、sin²A+sin²B＝1

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26. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点D，E，F分别是 $A C ， A B$ 的中点，O是 $D F$ 的中点， $E O$ 的延长线交线段 $B D$ 于点G，连结 $D E$ ， $E F$ ， $F G$ ．

(1)、求证：四边形 $D E F G$ 是平行四边形．

(2)、当 $A D = 5$ ， $t a n ∠ E D C = \frac{5}{2}$ 时，求 $F G$ 的长．

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