2024高考一轮复习第二十六讲平面向量的概念及线性运算

试卷更新日期：2023-11-24 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 下列说法中正确的是（）

A、向量 $\vec{A B}$ 与向量 $\vec{B A}$ 的长度相等 B、两个有共同起点且长度相等的向量，它们的终点相同 C、向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上 D、任意两个单位向量都相等

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2. 下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的长度相等且方向相同或相反； B、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的方向相同，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同或相反

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3. 下列命题中正确的是（）

A、 $\vec{a} + (- \vec{a}) = 0$ B、 $\vec{0} \cdot \vec{a} = 0$ C、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ D、若 ${\vec{a}}^{2} = {\vec{b}}^{2}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$

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4. 下列说法中不正确的是（）

A、零向量与任一向量平行 B、方向相反的两个非零向量不一定共线 C、单位向量是模为1的向量 D、方向相反的两个非零向量必不相等

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5. 下列结论中，正确的是（）

A、零向量只有大小，没有方向 B、若 $\vec{A B} / / \vec{C D}$ ， $\vec{A B} / / \vec{E F}$ ，则 $\vec{C D} / / \vec{E F}$ C、对任一向量 $\vec{a}$ ， $| \vec{a} | > 0$ 总是成立的 D、 $| \vec{A B} | = | \vec{B A} |$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A E}$ ，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $- \frac{4}{9} \vec{A B} + \frac{7}{9} \vec{A C}$ B、 $\vec{B F} =$ $\frac{4}{9} \vec{A B} - \frac{7}{9} \vec{A C}$ C、 $- \frac{7}{9} \vec{A B} + \frac{4}{9} \vec{A C}$ D、 $\vec{B F} =$ $\frac{7}{9} \vec{A B} - \frac{4}{9} \vec{A C}$

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7. 在正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，E为边BC上中点，记 $\vec{A C} = \vec{m}$ ， $\vec{D O} = \vec{n}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{m} + \frac{1}{2} \vec{n}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{m} + \frac{1}{2} \vec{n}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $- \vec{B E} - \frac{1}{3} \vec{C F}$ B、 $- \frac{1}{3} \vec{B E} - \vec{C F}$ C、 $- \vec{B E} - \vec{C F}$ D、 $- \frac{4}{9} \vec{B E} - \vec{C F}$

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9. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 $\vec{B C} = \vec{a} ， \vec{B A} = \vec{b} ， \vec{B E} = 3 \vec{E F}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{12}{25} \vec{a} - \frac{16}{25} \vec{b}$ B、 $\frac{16}{25} \vec{a} + \frac{12}{25} \vec{b}$ C、 $\frac{12}{25} \vec{a} + \frac{9}{25} \vec{b}$ D、 $\frac{9}{25} \vec{a} - \frac{12}{25} \vec{b}$

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10. 已知 $D$ ， $E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 上的点，且满足 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ． $F$ 为直线 $D E$ 与直线 $B C$ 的交点．若 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ （ $λ$ ， $μ$ 为实数），则 $μ - λ$ 的值为（）

A、1 B、 $- \frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为边 $B C$ 的中点，记 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{D B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$

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12. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $M$ 是 $C D$ 的中点，若 $\vec{A C} = λ \vec{A M} + μ \vec{A B}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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13. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $G$ 为 $△ B C D$ 的重心， $\vec{A G} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则 $3 x + y =$ （）

A、 $\frac{7}{3}$ B、2 C、 $\frac{8}{3}$ D、3

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14. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC、CD的中点，若 $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A D}$ ， $\vec{E G} = λ \vec{E F}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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15. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，若点M满足 $\vec{M C} = 2 \vec{B M}$ ，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{5}{3} \vec{c} - \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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16. 在 $△ A B C$ 中，点 $E$ 为 $A C$ 的中点， $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ， $B E$ 与 $C F$ 交于点 $P$ ，且满足 $\vec{B P} = λ \vec{B E}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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17. 在 $△ A B C$ 中，点 $M$ 为边 $A B$ 上一点， $2 \vec{A M} = \vec{M B}$ ，若 $3 \vec{C M} = λ \vec{C A} + μ \vec{C B}$ ，则 $μ =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、 $- 1$

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18. 在 $△ A B C$ 中， $M$ 是 $A C$ 边上一点，且 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ，若 $\vec{B M} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $y$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A E = \frac{1}{3} A B ， C F = \frac{1}{3} C D ， G$ 为 $E F$ 的中点，则 $\vec{D G} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A B}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A D} - \frac{1}{3} \vec{A B}$

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20. 如图所示， $△ A B C$ 中，点D是线段 $B C$ 的中点，E是线段 $A D$ 的靠近A的三等分点，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{6} \vec{B C}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{1}{6} \vec{B C}$

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21. 在 $▱ A B C D$ 中， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，满足 $\vec{A G} = x \vec{A B} + y \vec{A D} (x ， y \in R)$ ，则 $x + 2 y =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、0 D、-1

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22. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中，E ， F分别为 $B D$ 和 $A C$ 的中点，那么（）

A、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ B、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{D C}$ C、 $\vec{E F} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ D、 $\vec{E F} = - \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{D C}$

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23. 已知点P在 $△ A B C$ 所在平面内，满足 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，且 $\vec{A B} = m \vec{A P} + n \vec{A C}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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二、填空题

24. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 为线段 $D E$ 上的一点，且 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A B} + λ \vec{A D}$ ，则实数 $λ =$ ．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $D$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $A C$ 的中点， $P$ 为 $A D$ 与 $B F$ 的交点，且 $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ .若 $\vec{B P} = x \vec{a} + y \vec{b}$ ，则 $x + y =$ ；若 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{E D} =$ .

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26. 在 $△ A B C$ 中， $N$ 是 $A C$ 边上一点，且 $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{N C}$ ， P是 $B N$ 上的一点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{2}{9} \vec{A C}$ ，则实数 $m$ 的值为．

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27. 设M为 $△ A B C$ 内一点，且 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ， $\vec{C M} = x \vec{C B} + y \vec{C A}$ ，则 $x + y =$ ．

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28. 已知 $O$ 是平行四边形 $A B C D$ 对角线的交点，若 $\vec{D O} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，其中 $m ， n \in R$ ，则 $m + n =$ ．

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一、选择题

二、填空题

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