2024高考一轮复习第二十八讲平面向量的综合

试卷更新日期：2023-11-24 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $12 0^{∘}$ ，若 $(k \vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $k =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1 ， A D = 2 ， A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ 于 $E$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A O} =$ （）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 设非零向量 $\vec{m} ， \vec{n}$ 满足 $| \vec{m} | = 4 ， | \vec{n} | = 2 ， | \vec{m} + \vec{n} | = 3$ ，则 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{11}{8} \vec{m}$ B、 $- \frac{11}{4} \vec{m}$ C、 $- \frac{11}{4} \vec{n}$ D、 $- \frac{11}{8} \vec{n}$

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4. 向量“ $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线”是“| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ | < | $\vec{a}$ |+| $\vec{b}$ |”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知 $A (- 1 ， 0) ， B (2 ， 0)$ ，若动点 $M$ 满足 $M B = 2 M A$ ，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最大值是（）

A、18 B、9 C、3 D、 $\frac{9}{4}$

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6. 已知D为正三角形ABC中边BC的中点，E在线段AC上且 $A E = \frac{1}{2} E C$ ，若AD与BE交于M，若 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = - 27$ ，则正三角形ABC的边长为（）

A、6 B、12 C、18 D、24

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7. 已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若 $A = \frac{π}{4}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O C}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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8. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | > | \vec{b} |$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | < | \vec{a} |$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | > | \vec{a} - \vec{b} |$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) \geq 0$

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9. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a}$

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10. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， ⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{π}{6} ， | \vec{a} - 2 \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ ， $\vec{a} = (2 ， 0)$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $\frac{1}{2}$

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12. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2 ， 1) ， | \vec{b} | = \sqrt{3} ， | \vec{a} + \vec{b} | = 4$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、8 B、-8 C、-4 D、4

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13. 设非零向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 满足 $| \vec{m} | = 2$ ， $| \vec{n} | = 3$ ， $| \vec{m} + \vec{n} | = 3 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{5}{18} \vec{n}$ B、 $\frac{5}{18} \vec{n}$ C、 $- \frac{5}{8} \vec{m}$ D、 $\frac{5}{8} \vec{m}$

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14. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $\vec{B C} = 2 \vec{B E}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{D E}$ 的值为（）

A、-4 B、-3 C、0 D、3

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15. 圆 $O$ 为锐角 $△ A B C$ 的外接圆， $A C = 2 A B = 2$ ，点 $P$ 在圆 $O$ 上，则 $\vec{B P} \cdot \vec{A O}$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， 4)$ B、 $[0 ， 2)$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 2)$ D、 $[0 ， 4)$

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二、填空题

16. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 3 ， | \vec{a} - \vec{b} | = 4$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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17. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ， $\vec{e}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{e} | = 1$ ， $| \vec{b} - \vec{a} | = 1$ ， $< \vec{a} ， \vec{e} > = \frac{2 π}{3}$ ，且对任意的实数 $t$ ，均有 $| \vec{c} - t \vec{e} | \geq | \vec{c} - 2 \vec{e} |$ ，则 $| \vec{c} - \vec{b} |$ 的最小值为.

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18. 已知 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 、 $\vec{d}$ 都是平面向量，且 $| \vec{a} | = 2 | \vec{a} - \vec{b} | = | 5 \vec{a} - \vec{c} | = 1$ ，若 $⟨ \vec{a} ， \vec{d} ⟩ = \frac{π}{4}$ ，则 $| \vec{b} - \vec{d} | + | \vec{c} - \vec{d} |$ 的最小值为.

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19. 已知边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 120 °$ ， P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且 $P Q ⊥ B D$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{C Q}$ 的最大值是．

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20. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}$ 的最大值为.

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21. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $A D = 4$ ，点 $P$ 为 $A D$ 的中点，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C}) =$ ．

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22. 已知在 $△ A B C$ 中， $B C = 4 ， C A = 3 ， ∠ B C A = 12 0^{∘}$ ，则 $| 3 \vec{B C} - 5 \vec{C A} | =$ .

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23. 已知 $\vec{a}$ ､ $\vec{b}$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，若 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $| \vec{c} |$ 的最大值为.

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 3$ ， $c o s ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ， $\vec{D C} = 2 \vec{B D}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C}$ 的值为.

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25. 四边形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， C D$ 的中点， $A B = 2 ， C D = 2 \sqrt{2} ， E F = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为．

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2024高考一轮复习 第二十八讲 平面向量的综合

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二、填空题

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