2024高考一轮复习第二十七讲平面向量的基本定理及坐标表示

试卷更新日期：2023-11-24 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、4

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2. 若 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3 ， - 2)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) =$ （）

A、22 B、 $- 22$ C、 $- 29$ D、29

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3)$ ，则向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为（）

A、 $135 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， 0)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $- 3 \vec{b}$ B、 $3 \vec{b}$ C、 $\sqrt{3} \vec{b}$ D、 $- \sqrt{3} \vec{b}$

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5. 已知平面向量 $\vec{a} = (3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 已知 $A (0 ， 1)$ ， $B (3 ， - 2)$ ，且 $\vec{A C} = 2 \vec{C B}$ ，则 $\vec{A C}$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， - 1)$ B、 $(6 ， - 5)$ C、 $(6 ， - 6)$ D、 $(2 ， - 2)$

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7. 已知向量 $\vec{a} = (k ， 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， 4)$ ， $\vec{c} = (2 ， 1)$ ，且 $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则实数k的值为（）

A、 $- \frac{9}{2}$ B、0 C、3 D、 $\frac{15}{2}$

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8. 已知平面向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 1)$ ， $\vec{c} = (t ， t)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{c})$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{5}{4}$ D、 $- \frac{7}{4}$

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9. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， m - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、0或2 B、2 C、0或 $- 2$ D、 $- 2$

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10. 已知 $\vec{a} = (1 ， m)$ 与 $\vec{b} = (n ， - 4)$ 共线，且向量 $\vec{b}$ 与向量 $\vec{c} = (2 ， 3)$ 垂直，则 $m + n =$ （）

A、 $\frac{15}{2}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、 $- \frac{10}{3}$ D、 $- 2$

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11. 已知平面向量 $\vec{a} = (- 2 ， 0)$ ， $\vec{b} = (\frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $| \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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12. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (x ， 4)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $8$ B、 $2$ C、 $- 8$ D、 $- 2$

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13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2 ， - y)$ ， $\vec{b} = (x ， 1 ， 2)$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) / / (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则（）

A、 $x = \frac{1}{3}$ ， $y = 1$ B、 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = - 4$ C、 $x = 2$ ， $y = - \frac{1}{4}$ D、 $x = 1$ ， $y = - 1$

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3 λ)$ ， $\vec{b} = (2 ， 7 - λ)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、3 D、 $- 3$

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15. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1) ， \vec{b} = (m ， 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则m为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、0 D、 $- \frac{1}{2}$

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16. 已知 $| \vec{a} | = 2 \sqrt{5}$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ， $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} =$ （）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(4 ， 2)$ C、 $(2 ， - 4)$ D、 $(2 ， 4)$ 或 $(- 2 ， - 4)$

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17. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 1) ， \vec{b} = (4 ， - 3) ，$ 若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数m=（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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二、填空题

18. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 3) ， \vec{b} = (6 ， m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ；若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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19. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (λ ， 1)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

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20. 设向量 $\vec{O A}$ 绕点O逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 得向量 $\vec{O B}$ ，且 $2 \vec{O A} + \vec{O B} = (7 ， 9)$ ，则向量 $\vec{O B} =$ ．

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21. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3) ， \vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，若 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ ．

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22. 已知平面向量 $\vec{a} = (3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 1)$ ， $\vec{c} = (x ， - 6)$ .若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则x＝.

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23. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (0 ， k)$ ， $\vec{a}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 平行，则实数 $k$ 的值为.

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24. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $x =$ ．

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三、解答题

25. 已知 $\vec{a} = (1 ， 0) ， \vec{b} = (2 ， 1)$ ．

(1)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线？

(2)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} ， \vec{B C} = \vec{a} + m \vec{b}$ ，且 $\vec{A B} ， \vec{B C}$ 垂直，求 $m$ 的值．

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26. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 3) ， \vec{b} = (6 ， 2 x)$ .

(1)、若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求 $x$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{c} = (5 ， - 1)$ ，若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b} - \vec{c}$ 共线，求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ .

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27. 已知向量 $\vec{a} = (2 t ， t)$ ， $\vec{b} = (- 3 ， 2)$ ， $\vec{c} = (3 ， - 1)$ ．

(1)、求 $| \vec{c} - \vec{b} |$

(2)、若 $\vec{b} - \vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 共线，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角．

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28. 已知 $\vec{a} = (m ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{c} = (3 ， 2)$ .

(1)、若 $\vec{a} ∥ (\vec{b} + 2 \vec{c})$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求实数 $m$ 的值.

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2024高考一轮复习 第二十七讲 平面向量的基本定理及坐标表示

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三、解答题

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