山东省济南市商河县2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-11-24 类型：期中考试

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一、单选题(4*10)

1. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）

A、12 B、9 C、4 D、3

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3. 菱形不一定具有的性质是（）

A、四条边相等 B、对角线相等 C、是轴对称图形 D、是中心对称图形

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4. 如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，直线AC和DF被 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（　　）

A、5 B、6 C、7 D、8

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5. 一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ 经过配方后，可变形为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 2)}^{2} = - 1$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 9$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 9$

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6. 已知 $Δ A B C$ 与△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 相似，且相似比为 $1 ： 3$ ，则 $Δ A B C$ 与△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积比为 $($ $)$

A、1：1 B、1：3 C、1：6 D、1：9

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7. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（）

A、 $150 (1 - x^{2}) = 96$ B、 $150 (1 - x) = 96$ C、 $150 (1 - x)^{2} = 96$ D、 $150 (1 - 2 x) = 96$

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8. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（　　）cm

A、 $7 \sqrt{5} + 7$ B、 $21 - 7 \sqrt{5}$ C、 $7 \sqrt{5} - 7$ D、 $7 \sqrt{5} - 21$

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9. 如图，矩形 $E F G H$ 内接于 $△ A B C$ ，且边 $F G$ 落在 $B C$ 上，若 $A D ⊥ B C$ ， $B C = 3$ ， $A D = 2$ ， $E F = \frac{2}{3} E H$ ，那么 $E H$ 的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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10. 如图，在矩形纸片ABCD中， $A D = 10$ ， $A B = 8$ ，将AB沿AE翻折，使点B落在 $B^{'}$ 处，AE为折痕，再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段 $E B^{'}$ 上的点 $C^{'}$ 处，EF为折痕，连接 $A C^{'}$ ．若 $C F = 3$ ，则 $\frac{B^{^{'}} C^{^{'}}}{A B^{^{'}}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$

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二、填空题(6*4)

11. 若 $\frac{a}{b} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ = ．

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12. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + x - a = 0$ 的一个根是2，则另一个根是．

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13. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 4 ， 2)$ ， $B (- 6 ， - 4)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，画 $△ A^{'} B^{'} O$ ，使它与 $△ A B O$ 位似，且相似比为 $1 ： 2$ ，则点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标是．

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14. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k + 2) x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 有实数根，则实数 $k$ 的取值范围是．

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15. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S_菱形_ABCD=24，则OH的长为.

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16. 如图，E ， F是平行四边形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 上两点， $A E = C F = \frac{1}{4} A C$ ，连接 $D E ， D F$ 并延长，分别交 $A B ， B C$ 于点G ， H ，连接 $G H$ ，下列结论：① $A G ： G B = 1 ： 2$ ， ② $G H ： A C = 2 ： 3$ ， ③ $S_{△ A D G} = S_{△ B G H}$ ， ④ $S_{△ D E F} ： S_{△ D G H} = 9 ： 16$ ，其中正确的结论有（只填序号）．

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三、解答题

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 7 x = 0$

(2)、 $2 x^{2} - 6 x + 1 = 0$

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18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E ， F在 $A C$ 上， $A E = C F$ ．求证： $B E = D F$ ．

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19. 为了测得一棵树的高度 $A B$ ，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长 $C D$ 为1.5米，落在地面上的影长 $B C$ 为3米．

(1)、该小组同学是利用投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”）

(2)、求这棵树的高度 $A B$ ．

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20. 李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．

(1)、若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是；

(2)、若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．

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21. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．

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22. 如图，用一段长为 $16 m$ 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙长 $8 m$ ），若这个围栏的面积为 $30 m^{2}$ ，求与墙垂直的一边的长度．

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23. 如图， $A D$ 、 $B C$ 相交于点 $P$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ，且 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $A C = 3$ ， $C P = 2$ ， $D P = 1$ ，求 $B D$ 的长．

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24. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．

(1)、若销售单价为每件52元，求每天的销售利润；

(2)、要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？

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25. 如图， $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ， D是 $A B$ 的中点，动点P从点A出发，沿线段 $A C$ 以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，设点P的运动时间为t秒．

(1)、当t为多少秒时，以点A、D、P为顶点的三角形与 $Δ A B C$ 相似？

(2)、若 $Δ A P D$ 为钝角三角形，请直接写出t的取值的范围．

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26. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中，∠ABC=90°， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，点 $D 、 E$ 分别是边 $B C 、 A C$ 的中点，连接 $D E$ ．将 $△ C D E$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转，记旋转角为 $α$ ．

(1)、问题发现
$①$ 当 $α = 0 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ ； $②$ 当 $α = 180 °$ 时， $\frac{A E}{B D} =$ ．

(2)、拓展探究
试判断：当 $0 ° \leq α < 360 °$ 时， $\frac{A E}{B D}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

(3)、问题解决
$△ C D E$ 绕点 $C$ 逆时针旋转至 $A 、 B 、 E$ 三点在同一条直线上时，请直接写出线段 $B D$ 的长．

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