湖南省长沙市长郡教育集团2023-2024学年八年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-11-24 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）

1. 我们生活在一个充满对称的世界中：许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中有些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受!在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中，轴对称图形是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 小明和小红两位小朋友在做拼三角形的游戏，小明手上有两根木棒长分别为 $4 c m$ 和 $7 c m$ ，小红手上有四根木棒，长度如下： $2 c m$ ， $3 c m$ ， $8 c m$ ， $12 c m$ ，小明从小红手中选一根要能拼成一个三角形的木棒，小明应选的木棒长度是（）

A、 $2 c m$ B、 $3 c m$ C、 $8 c m$ D、 $12 c m$

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3. 在平面直角坐标系中，点 $(11 ， 2)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 11 ， 2)$ B、 $(11 ， - 2)$ C、 $(- 11 ， - 2)$ D、 $(2 ， 11)$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $(x + 1)^{2} = x^{2} + 1$ B、 ${(- 2 n m^{2})}^{3} = - 6 n^{3} m^{6}$ C、 $x \cdot x^{3} = x^{4}$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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5. 如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）

A、∠B=∠C B、AD⊥BC C、AD平分∠BAC D、AB=2BD

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A D = D C$ ， $∠ B = 70 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、 $75 °$ B、 $70 °$ C、 $65 °$ D、 $35 °$

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7. 如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）

A、360° B、250° C、180° D、140°

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8. 如图，已知 $A B = A D$ ，添加下列一个条件后，无法判定 $△ A B C ≌ △ A D C$ 的是（）

A、 $C B = C D$ B、 $∠ B A C = ∠ D A C$ C、 $∠ B C A = ∠ D C A$ D、 $∠ B = ∠ D = 90 °$

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9. 如果等腰三角形两边长是 $4 c m$ 和 $8 c m$ ，那么它的周长是（）

A、 $16 c m$ B、 $20 c m$ C、 $21 c m$ D、16或 $20 c m$

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10. 如图， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，则下列结论：① $D F + A E > A D$ ；② $D E = D F$ ；③ $A D ⊥ E F$ ；④ $S_{△ A B D} ： S_{△ A C D} = A B ： A C$ ，其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 已知 $x + y = - 5$ ， $x - y = - 4$ ，则 $x^{2} - y^{2}$ 的值是．

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12. 已知 $n$ 边形的内角和等于 $720 °$ ，则 $n$ 的值是．

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13. 如图，已知线段 $A D$ 是等边 $△ A B C$ 的高，点 $E$ 在 $A C$ 上，且 $A E = A D$ ，则 $∠ A D E =$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，按以下步骤作图：①分别以点 $B$ 和 $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ 和 $N$ ；②作直线 $M N$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ，若 $A C = 6$ ， $A B = 4$ ，则 $△ A B D$ 的周长为．

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15. 如图，已知 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A D ⊥ C E$ ， $B E ⊥ C E$ ，垂足点分别是 $D$ ， $E$ ， $A D = 5$ ， $B E = 2$ ，则 $D E$ 的长为．

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16. 如图，已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ，则线段 $A D$ 的取值范围是．

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三、解答题（本题共8个小题，共72分）

17. 计算：

(1)、 ${(a^{2} b^{3})}^{4} \div {(a b^{3})}^{2}$ ；

(2)、 $0.2 5^{2023} \times 4^{2024}$ ；

(3)、 $(5 a + 2) (2 a - 1)$ ；

(4)、 $(2 a + 3)^{2} - (2 a + 1) (2 a - 1)$ ．

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18. 先化简，再求值： $[(2 x + 3 y)^{2} - (2 x + 3 y) (2 x - 3 y)] \div 3 y$ ，其中 $x = - 2$ ， $y = \frac{1}{3}$ ．

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19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在小正方形的顶点上．
⑴在图中画出与 $△ A B C$ 关于直线 $l$ 成轴对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；
⑵求 $△ A B C$ 的面积；
⑶在直线 $l$ 上找一点 $P$ （在答题纸上图中标出），使 $P B + P C$ 的值最小．

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20. 已知 $a - b = 7$ ， $a b = - 12$ ．

(1)、求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(2)、求 $a + b$ 的值．

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21. 如图，已知在 $△ A B C$ 与 $△ D C B$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ，且 $∠ A = ∠ D$ ， $A B = D C$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ D C E$ ；

(2)、当 $∠ A E B = 70 °$ 时，求 $∠ E B C$ 的度数．

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22. 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，

(1)、求∠F的度数；

(2)、若CD=3，求DF的长．

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23. 阅读材料，解决后面的问题：
若 $m^{2} + 2 m n + 2 n^{2} - 6 n + 9 = 0$ ，求 $m - n$ 的值．
解： $∵ m^{2} + 2 m n + 2 n^{2} - 6 n + 9 = 0$ ，
$∴ (m^{2} + 2 m n + n^{2}) + (n^{2} - 6 n + 9) = 0$ ，
即： $(m + n)^{2} + (n - 3)^{2} = 0$ ， $∴ m + n = 0$ ， $n - 3 = 0$ ，
解得： $m = - 3$ ， $n = 3$ ， $∴ m - n = - 3 - 3 = - 6$ ．

(1)、若 $x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y + 25 = 0$ ，求 $x + 2 y$ 的值；

(2)、已知等腰 $△ A B C$ 的两边长 $a$ ， $b$ ，满足 $a^{2} + b^{2} = 10 a + 12 b - 61$ ，求该 $△ A B C$ 的周长；

(3)、已知正整数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足不等式 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 36 < a b + 6 b + 10 c$ ，求 $a + b - c$ 的值．

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24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点 $A (x ， 0)$ ， $B (0 ， y)$ ，且 $x$ ， $y$ 满足 $| x - 6 | + (y - 2)^{2} = 0$ ．
图1 图2 图3

(1)、求 $△ A O B$ 的面积；

(2)、如图1，以 $A B$ 为斜边构造等腰直角 $△ A B C$ ，请直接写出点 $C$ 的坐标；

(3)、如图2，已知等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $D$ 是腰 $A C$ 上的一点（不与 $A$ ， $C$ 重合），连接 $B D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ ，垂足为点 $E$ ．
①若 $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线，求证： $B D = 2 A E$ ；
②探究：如图3，连接 $C E$ ，当点 $D$ 在线段 $A C$ 上运动时（不与 $A$ ， $C$ 重合）， $∠ B E C$ 的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．

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