北京市通州区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-11-24 类型：期中考试

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一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1. 下列长度的四条线段中，是成比例线段的是（）

A、3cm，5cm，6cm，9cm B、3cm，5cm，8cm，9cm C、3cm，9cm，10cm，30cm D、3cm，6cm，7cm，9cm

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2. 抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ 的顶点坐标为（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(2 ， 1)$

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3. 如图所示，点D、E分别在 $△ A B C$ 的AB ， AC边上，且 $D E ∥ B C$ ，如果 $A D ： D B = 2 ： 1$ ，那么 $A E ： A C$ 等于（）

A、 $2 ： 1$ B、 $2 ： 5$ C、 $3 ： 5$ D、 $2 ： 3$

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4. 将抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向下平移3个单位，得到的抛物线为（）

A、 $y = 2 x^{2} + 3$ B、 $y = 2 x^{2} - 3$ C、 $y = 2 {(x + 3)}^{2}$ D、 $y = 2 {(x - 3)}^{2}$

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5. 如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O ， $A B ∥ C D$ ，根据图2中的数据可得x的值为（）
图1 图2

A、0.4 B、0.8 C、1 D、1.6

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6. 如图，已知D是 $△ A B C$ 的边AC上一点，根据下列条件，不能判定 $△ C A B ∽ △ C B D$ 的是（）

A、 $∠ A = ∠ C B D$ B、 $∠ C B A = ∠ C D B$ C、 $B C^{2} = A C \cdot C D$ D、 $A B \cdot C D = B D \cdot B C$

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7. 若二次函数 $y = x^{2} - 4 x - m$ 的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）

A、 $m \geq - 4$ B、 $m > - 4$ C、 $m \leq 4$ D、 $m < 4$

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8. 函数 $y = x^{2} - 4 | x | - 2$ 的自变量x的取值范围为全体实数，其中 $x \geq 0$ 部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：
①函数图象关于y轴对称
②函数既有最大值，也有最小值
③当 $x < - 2$ 时，y随x的增大而减小
④当 $- 6 < a < - 2$ 时，关于x的方程 $x^{2} - 4 | x | - 2 = a$ 有4个实数根
其中正确的结论个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）

9. 已知 $\frac{a + b}{b} = \frac{5}{2}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ .

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10. 请写出一个开口向下，图象经过原点的二次函数表达式.

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11. 两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为

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12. 20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点， $B E > A E$ .已知AB为2米，则线段BE的长为米.

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13. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为 $x = 1$ ，点P ，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，则点Q的坐标为.

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14. 点 $(- 2 ， y_{1})$ ， $(3 ， y_{2})$ 为抛物线 $y = - x^{2} + 2 x - n$ 上两点，则 $y_{1}$ $y_{2}$ .（用“＜”或“＞”号连接）

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15. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ， $A B = 6$ ， $B D = 2$ ，则CD的长为.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B O C$ 的边 $O B ， O C$ 分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为 $(8 ， 6)$ ，点P在矩形 $A B O C$ 的内部，点E在 $B O$ 边上，且满足 $△ P B E ∽ △ C B O$ ，当△ $A P C$ 是等腰三角形时，点P的坐标为．

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三、解答题（本题共68分，第17-18题每题4分；第19-21题每题5分；第22-27题每题6分；第28题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17. 已知一条抛物线的顶点坐标为 $(- 2 ， - 4)$ ，且经过点 $(0 ， 4)$ ，求抛物线的表达式.

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18. 如图， $△ A B C$ 的高AD ， BE相交于点O.

(1)、写出一个与 $△ A C D$ 相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是；

(2)、证明：

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19. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ .

(1)、求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；

(2)、在平面直角坐标系xOy中画出函数图象.

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20. 小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 $D E = 40 c m$ ， $E F = 20 c m$ ，测得边DF离地面的高度 $A C = 1.5 m$ ， $C D = 8 m$ ，求树的高度.

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21. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F.

(1)、求证： $△ A F E ∽ △ C F D$ ；

(2)、若 $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，求CF的长.

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22. 已知二次函数 $y = x^{2} - a x + b$ 在 $x = 0$ 和 $x = 4$ 时的函数值相等.

(1)、求二次函数 $y = x^{2} - a x + b$ 图象的对称轴；

(2)、过 $P (0 ， 2)$ 作x轴的平行线与二次函数 $y = x^{2} - a x + b$ 的图象交于不同的两点M、N.当 $M N = 2$ 时，求b的值.

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23. 已知：如图， $△ A B C$ 中，AD平分 $∠ B A C$ ， E是AD上一点，且 $A B ： A C = A E ： A D$ .判断BE与BD的数量关系并证明.

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24. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线.如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为 $y = - \frac{1}{6} x^{2} + b x + c$ .

(1)、求绳子所对应的抛物线表达式；

(2)、身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？

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25. 如图，在等腰三角形ABC中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E ，使 $∠ A D E = 45 °$ .

(1)、求证： $△ A B D ∽ △ D C E$ ；

(2)、设 $B D = x$ ， $A E = y$ ，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

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26. 某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤.结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售.

(1)、若每公斤降价2元，则每天的销售利润为元；

(2)、销售单价定为每公斤多少元时，每天销售该品种葡萄获得的利润w最大？最大利润是多少元？

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27. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 3 (a \neq 0)$ .

(1)、求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；

(2)、点 $P (a ， y_{1})$ ， $Q (3 ， y_{2})$ 在该抛物线上，若 $y_{1} > y_{2}$ ，求a的取值范围.

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28. 定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形.
图1 图2 图3

(1)、如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分 $∠ B A D$ ， $∠ B C D + \frac{1}{2} ∠ B A D = 180 °$ ，求证： $△ A C B$ 和 $△ A D C$ 为叠似三角形；

(2)、如图2， $△ A C B$ 和 $△ A D C$ 为叠似三角形，若 $C D ∥ A B$ ， $A D = 4$ ， $A C = 6$ ，求四边形ABCD的周长；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中，D是BC上一点，连结AD ，点E在AD上，且 $D E = D C$ ， F为AC中点，且 $∠ B E C = ∠ A E F$ ，若 $B C = 9$ ， $A E = 4$ ，求 $\frac{E F}{B E}$ 的值.

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