沪科版数学八年级上册第14章全等三角形判定及性质综合题（拓展提升）-在线组卷题库

1. 如图， $Δ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $D$ 是 $C A$ 延长线上一点，以 $B D$ 为边作等边三角形 $B D E$ ，连接 $A E$ .

(1)、求 $∠ E A D$ 的度数.

(2)、求 $A E - A D$ 的值.

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2. 在等腰 $△ A B C$ 中， $B C = A C$ ，点D在 $B C$ 上，延长 $A C$ 至点E，使 $C E = C D$ ，连接 $A D ， D E ， B E$ ．

(1)、若 $∠ A C B = 90 °$ ，
①如图1，求证： $B E = A D$ ；

②如图2，将 $△ D C E$ 绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，使点A，D，E三点在一条直线上，判定 $△ A B E$ 的形状，并说明理由．

(2)、若 $∠ D C E = ∠ A C B \neq 90 °$ ，如图3，（1）中①的结论是否成立？若不成立，请给出 $A D$ ， $B E$ 之间的数量关系；若成立，请给出证明．

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3. 已知△ABC与ΔADE均为等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在直线BC上．

(1)、如图1，当点D在CB延长线上时，求证：BE⊥CD；

(2)、如图2，当D点不在直线BC上时， BE、CD相交于M，
①直接写出∠CME的度数；
②求证：MA平分∠CME

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4. 在 $△$ ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作 $△$ ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

(1)、如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝26°，则∠DCE＝．

(2)、设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．

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5. 在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．

(1)、如图1，求证：∠ABE=∠ACF；

(2)、如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；

(3)、如图3，当∠ABC=45°，且AE $∥$ BC时，求证：BD=2EF．

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6. 如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，DC＝EC．过点C作CF⊥DE交DE于点F．

(1)、如图1，当点B、E、D在同一条线上时，
①求证： $C F = \frac{1}{2} D E$ ；
②求∠BDA的度数；

(2)、如图2，连接AF并延长至点G，使AF＝GF，连接GE、GB，试判断△BEG形状，并说明理由．

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7. 如图， $A E$ 与 $B D$ 相交于点C， $A C = E C$ ， $B C = D C$ ， $A B = 10 c m$ ，点P从点A出发，沿 $A \to B \to A$ 方向以 $2 c m / s$ 的速度运动，点Q从点D出发，沿 $D \to E$ 方向以 $1 c m / s$ 的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为 $t (s)$ ．

(1)、求证： $A B ∥ D E$ ．

(2)、写出线段 $A P$ 的长（用含t的式子表示）．

(3)、连接 $P Q$ ，当线段 $P Q$ 经过点C时，求t的值．

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8. 如图，已知 $Δ A B C$ 中， $A B = A C = 10 c m ， B C = 8 c m$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点．如果点 $Р$ 在线段 $B C$ 上以 $3 m / s$ 的速度由点 $B$ 向 $C$ 点运动，同时，点 $Q$ 在线段 $C A$ 上由 $C$ 点向 $A$ 点运动，设点 $P$ 运动的时间为 $t s$ ．

(1)、用含 $t$ 的式子表示 $P C$ 的长为；

(2)、若点 $Q$ 的运动速度与点 $P$ 的运动速度相等，经过 $1$ 秒后， $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 是否全等？请说明理由；

(3)、若点 $Q$ 的运动速度与点 $P$ 的运动速度不相等，当点 $Q$ 的运动速度为多少时，能够使 $△ B P D$ 与 $△ C Q P$ 全等？

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9. 某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练.已知： $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = 5 ， B C = 3$ ；机器人从点 $C$ 出发，沿着 $△ A B C$ 边按 $C \to B \to A \to C$ 的方向匀速移动到点 $C$ 停止；机器人移动速度为每秒 $1$ 个单位，移动至拐角处调整方向需要 $0.5$ 秒（即在 $B 、 A$ 处拐弯时分别用时 $0.5$ 秒）.设机器人所用时间为 $t$ 秒时，其所在位置用点 $Р$ 表示（机器人大小不计）.

(1)、点 $C$ 到边 $A B$ 的距离是；

(2)、是否存在这样的时刻，使 $△ P B C$ 为等腰三角形？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由.

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10. 如图（1）， $A B = 9 cm$ ， $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ 垂足分别为A、B ， $A C = 7 cm$ ．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

(1)、若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 $t = 1$ 时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

(2)、如图（2），若“ $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ ”改为“ $∠ C A B = ∠ D B A$ ”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．

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11. 已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E．

(1)、如图1，①线段CD和BE的数量关系是 ▲ ；②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．

(2)、如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．

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12. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A D ⊥ C E$ 于点 $D$ ， $B E ⊥ C E$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A C D ≌ △ C B E$ ；

(2)、如图2，若点O为 $A B$ 的中点，连接DO，EO，判断 $△ D O E$ 的形状，并说明理由．

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13. 如图所示，回答下列问题

(1)、如图1，在 $△$ $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，直线 $m$ 经过点 $A$ ， $B D ⊥$ 直线 $m$ ， $C E ⊥$ ⊥直线 $m$ ，垂足分别为点 $D$ 、 $E$ ．证明： $D E = B D + C E$ ．

(2)、如图2，将（1）中的条件改为：在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 、 $A$ 、 $E$ 三点都在直线 $m$ 上，并且有 $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C = a$ ，其中 $a$ 为任意锐角或钝角．请问结论 $D E = B D + C E$ 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)、拓展与应用：如图3， $D$ 、 $E$ 是 $D$ 、 $A$ 、 $E$ 三点所在直线 $m$ 上的两动点（ $D$ 、 $A$ 、 $E$ 三点互不重合），点 $F$ 为 $∠ B A C$ 平分线上的一点，且 $△ A B F$ 和 $△ A C F$ 均为等边三角形，连接 $B D$ 、 $C E$ ，若 $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C$ ， $E F = 6 c m$ ，试判断 $△ D E F$ 的形状，并求出 $D E$ 的长．

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14. 利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．

(1)、如图①， $B$ ， $C$ ， $D$ 三点共线， $A B ⊥ B D$ 于点 $B$ ， $D E ⊥ B D$ 于点 $D$ ， $A C ⊥ C E$ ，且 $A C = C E$ ．若 $A B + D E = 6$ ，求 $B D$ 的长．

(2)、如图②，在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 为等腰直角三角形，直角顶点 $C$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 2 ， 1)$ ．求直线 $A B$ 与 $y$ 轴的交点坐标．

(3)、如图③， $∠ A C B = 90 °$ ， $O C$ 平分 $∠ A O B$ ，若点 $B$ 坐标为 $(b ， 0)$ ，点 $A$ 坐标为 $(0 ， a)$ ．则 $S_{四边形 A O B C} =$ ．（只需写出结果，用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边的中线，E为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ 并延长交 $A C$ 于点F，若 $∠ A E F = ∠ F A E$ ， $B E = 4$ ， $E F = 1.6$ ，则 $C F$ 的长为.

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16.

(1)、阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连结CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线BD的取值范围是．

(2)、问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN，求证：AM＋CN＞MN．

(3)、问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．

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17.

(1)、【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图 $①$ ， $△ A B C$ 中，若 $A B = 8$ ， $A C = 6$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 至点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ．
请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到 $△ A D C$ ≌ $△ E D B$ ，依据是．
A. $S A S$ ； $B . S S S$ ； $C . A A S$ ； $D . H L$
由“三角形的三边关系”可求得 $A D$ 的取值范围是．

(2)、【初步运用】
如图 $②$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $B E$ 交 $A C$ 于 $E$ ，交 $A D$ 于 $F$ ，且 $A E = E F .$ 若 $E F = 4$ ， $E C = 3$ ，求线段 $B F$ 的长．

(3)、【灵活运用】
如图 $③$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 中点， $D E ⊥ D F$ ， $D E$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $D F$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $E F .$ 试猜想线段 $B E . C F . E F$ 三者之间的数量关系，并证明你的结论．

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18. 在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 为 $Δ A B C$ 的角平分线.

图1 图2

(1)、如图1， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 45 °$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上， $A E = A C$ ，请直接写出图中所有与 $B E$ 相等的线段.

(2)、如图2， $∠ C \neq 90 °$ ，如果 $∠ C = 2 ∠ B$ ，求证： $A B = A C + C D$ .

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $D E ⊥ A B$ ，垂足为点E ．若 $△ A C D$ 的面积为16， $A C ＝ 8$ ，则 $D E$ 的长为（　　）

A、2 B、3 C、4 D、6

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20. 已知 $Rt △ A C B$ ≌ $Rt △ D E B$ ， $∠ A C B = ∠ D E B = 90 °$ ．

(1)、将 $Rt △ A C B$ 和 $Rt △ D E B$ 按图①方式摆放，使 $B D$ 经过点 $C$ ，延长 $A C$ 交线段 $D E$ 于点 $F$ ．试判断线段 $D F$ 、 $C F$ 、 $A C$ 之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)、将 $Rt △ A C B$ 和 $Rt △ D E B$ 按图②方式摆放，延 $A C$ 交线段 $D E$ 于点 $F$ ．请直接写出 $D F$ 、 $C F$ 、 $A C$ 之间的数量关系．

(3)、将 $Rt △ A C B$ 和 $Rt △ D E B$ 按图③方式摆放，延长 $A C$ 交 $E D$ 的延长线于点 $F$ ．请直接写出线段 $D F$ 、 $C F$ 、 $A C$ 之间的数量关系：．

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21. 已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 、 $C D$ 分别平分 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ ，过点 $D$ 作直线分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，若 $A E = A F$ ，解答下列问题：

(1)、证明： $D E = D F$ ；

(2)、若 $∠ A = 60 °$ ， $A B = 8$ ， $B C = 7$ ， $A C = 5$ ，求 $E F$ 的长．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，且 $A C = B C$ ， D是 $A B$ 的中点，E是 $A B$ 延长线上一点， $A F ⊥ E C$ 交 $E C$ 的延长线于F， $A F$ 的延长线交 $D C$ 的延长线于点G，连接 $G E$ ．

(1)、求证：① $∠ A C G = ∠ C B E$ ；② $△ A C G ≌ △ C B E$ ；

(2)、若 $∠ G A E = 60 °$ ，求 $∠ C E G$ 的度数．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D是 $B C$ 延长线上一点，过点D作 $D F ⊥ A C$ 于点F，延长 $D F$ 交 $A B$ 于点E，交 $∠ A C B$ 的平分线于点N，点M为 $C N$ 与 $A B$ 的交点， $∠ B M C = 80 °$ ， $∠ B = 40 °$ .

(1)、求 $∠ A E F$ 的度数；

(2)、证明： $N F = F D$ .

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24. 如图，在 $△ A B E$ 和 $△ A C F$ 中， $∠ E = ∠ F = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $B E = C F$ ．

(1)、求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ；

(2)、试判断线段BN与CM的数量关系，并加以证明．

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25. 如图 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， D是 $A C$ 边上一点，连接 $B D$ ， $E C ⊥ A C$ 垂足为点C，且 $A E = B D$ ， $A E$ 交线段 $B C$ 于点F．

(1)、在图1中画出正确的图形，并证明 $C E = A D$ ；

(2)、当 $∠ C F E = ∠ A D B$ 时，求证： $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．

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26. 如图，在四边形ABCD中，∠BAE=∠ACD=90°，BC=CE．

(1)、∠BAC与∠D相等吗?为什么?

(2)、E点在AD边上，若∠BCE=90°，试判断△ACD的形状，并说明理由．

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沪科版数学八年级上册第14章全等三角形判定及性质综合题（拓展提升）

一、手拉手模型

二、动态几何全等模型

三、一线三等角模型

四、倍长中线模型

五、角平分线模型

六、直角三角形判定HL

七、其他综合