天津市和平区2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2023-11-24 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）．

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
2. 若 $α$ ， $β$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的两个根，则 $α + β$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 3$ D、3

查看试题解析
3. 二次函数 $y = - 5 {(x + 2)}^{2} - 6$ 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）

A、向下、直线 $x = 2$ 、 $(2 ， 6)$ B、向下、直线 $x = - 2$ 、 $(- 2 ， - 6)$ C、向下、直线 $x = - 2$ 、 $(- 2 ， 6)$ D、向上、直线 $x = 2$ 、 $(2 ， - 6)$

查看试题解析
4. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $2$ ， $O A = \sqrt{5}$ ，则点 $A$ 和 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、点 $A$ 在圆上 B、点 $A$ 在圆外 C、点 $A$ 在圆内 D、不确定

查看试题解析
5. 把抛物线y＝－ $\frac{1}{2}$ x²向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为（）

A、y＝－ $\frac{1}{2}$ (x＋1)²＋1 B、y＝－ $\frac{1}{2}$ (x＋1)²－1 C、y＝－ $\frac{1}{2}$ (x－1)²＋ 1 D、y＝－ $\frac{1}{2}$ (x－1)²－1

查看试题解析
6. 用配方法解一元二次方程时，首先把 $x^{2} + 6 x - 5 = 0$ 化成 ${(x + a)}^{2} = b$ （a、b为常数）的形式，则 $a + b$ 的值为（）

A、8 B、11 C、14 D、17

查看试题解析
7. 如图，要设计一幅宽 $20 c m$ ，长 $30 c m$ 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 $2 ： 3$ ．如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？
若设每个横彩条的宽度为 $2 x c m$ ，则每个竖彩条的宽度为 $3 x c m$ ，则根据题意，列方程为（）

A、 $(20 - 4 x) (30 - 6 x) = \frac{1}{3} \times 20 \times 30$ B、 $(20 - 4 x) (30 - 6 x) = (1 - \frac{1}{3}) \times 20 \times 30$ C、 $(20 - 6 x) (30 - 4 x) = \frac{1}{3} \times 20 \times 30$ D、 $(20 - 6 x) (30 - 4 x) = (1 - \frac{1}{3}) \times 20 \times 30$

查看试题解析
8. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，分别以点O和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} O B$ 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M ， N两点，直线 $M N$ 与 $⊙ O$ 相交于C ， D两点，若 $A B = 4$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析
9. 如图， $△ D E C$ 是 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转得到的，延长 $A B$ 与 $D E$ 相交于点 $F$ 、若 $∠ A = 37 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ， $∠ D C B = 12 °$ ，则 $∠ A F D$ 的度数为（）

A、 $33 °$ B、 $37 °$ C、 $45 °$ D、 $49 °$

查看试题解析
10. 如图，等边 $△ A B C$ 的边长为 $1$ ，点 $D$ 从点 $A$ 出发在 $A C$ ， $C B$ 边上运动，当点 $D$ 运动到点 $B$ 后停止运动．过 $D$ 作 $A B$ 边的垂线，交 $A B$ 于 $G$ ，用 $x$ 表示线段 $A G$ 的长度， $R t △ A G D$ 的面积 $y$ 是线段长度 $x$ 的函数，则 $y$ 与 $x$ 的函数图象正确的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
11. 如图， $O A ， O B ， O C$ 都是 $⊙ O$ 的半径， $∠ A O B = 2 ∠ B O C$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $A B = 2 B C$ B、 $∠ A B O + ∠ B O C = 90 °$ C、 $∠ A C B = ∠ B O C$ D、 $∠ A C B = 2 ∠ C A B$

查看试题解析
12. 已知抛物线 $y = a^{2} + b x + c$ （a ， b ， c是常数， $c < 0$ ）经过点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，有下列结论：
①图象的对称轴为直线 $x = 1$ ；
②若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c + b = 0$ 的两个根是 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $x_{1} < - 1$ ， $x_{2} > 3$ ；
③若 $0 < x < 4$ ，则 $- 3 a < y < 5 a$ ；
④无论x取何值，代数式 $a x^{2} + b x + a$ 的值都大于0．
其中，正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13. 点 $P (2 ， - 3)$ 关于原点对称点 $P^{'}$ 的坐标为．

查看试题解析
14. 如图，五角星围绕中心 $O$ 旋转，至少旋转（度）能与自身重合．

查看试题解析
15. 飞机着陆后滑行的距离s（单位： $m$ ）关于滑行的时间t（单位： $s$ ）的函数解析式 $s = 60 t - 1.5 t^{2}$ ，飞机着陆后滑行米才能停下来．

查看试题解析
16. 若方程x²－4084441＝0的两根为±2021，则方程x²－2x－4084440＝0的两根为．

查看试题解析
17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 90 ° ， A B = 5 ， A D = 4 ， A D < B C$ ，点E在线段 $B C$ 上运动，点F在线段 $A E$ 上， $∠ A D F = ∠ B A E$ ，则线段 $B F$ 的最小值为．

查看试题解析
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $△ A B C$ 内接于圆，且顶点A ， B均在格点上，点C在网格线上．

(1)、线段 $A B$ 的长等于；

(2)、请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在圆上画出点D ，使 $B D$ 平分 $∠ A B C$ （不要求证明，保留作图痕迹）

查看试题解析

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）．

19.

(1)、解一元二次方程： $5 x^{2} - 3 x = x + 1$ ；

(2)、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．
①求k的取值范围；
②若（填序号），求k的值．
请同学们从① $x_{1} \cdot x_{2} = 2$ ；② $x_{1} + x_{2} = 3$ ；③ $x_{1} - x_{2} = 1$ 中选择一个作为条件，补充完整题目，并完成解答．

查看试题解析
20. 一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，在滑道上设置了几个固定的计时点，测得一些数据（如表格）．
为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标，描出表中数据对应的点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似的位于某条抛物线上．于是，我们用二次函数 $s = a t^{2} + b t + c (t \geq 0)$ 来近似的表示s与t的关系．

(1)、在位置①处，当 $t = 0$ 时， $s = 0$ ，所以 $c =$ ；

(2)、有一个计时点的计时装置出现了故障，请同学们用平滑曲线连接这些绝大部分的点，通过观察发现故障点的位置编号可能是；

(3)、利用函数图象推测当此滑雪者滑行距离为30m时，用时约为s（结果保留一位小数）；

(4)、求s与t的函数关系式，并求出滑雪者在故障位置的滑行距离．

查看试题解析
21. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $B D$ ， $∠ B A D = 105 °$ ， $\overset{⌢}{B D} = \overset{⌢}{D C}$ ．

(1)、求 $∠ B D C$ 的大小；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为3，求 $B C$ 的长．

查看试题解析
22. 已知， $A B$ 是 $⊙ O$ 直径，半径 $O D$ 经过弦 $A C$ 的中点 $E$ ．

(1)、如图①，连接 $B C$ ， $B D$ ，若 $∠ C A B = 38 °$ ，求 $∠ D$ 和 $∠ D B C$ 的大小；

(2)、如图②，连接 $D C$ 并延长交 $A B$ 的延长线于点 $P$ ，若 $∠ C A B = 10 °$ ，求 $∠ P$ 的大小．

查看试题解析
23. 2023年杭州亚运会胜利闭幕．本次亚运会中国代表团共获得383枚奖牌，位居奖牌榜第一，创造了新的历史．在亚运会期间，买一件印有亚运会元素的T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．某商店以每件40元的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件．

(1)、求该款T恤4月份到6月份销售量的月平均增长率；

(2)、从7月份起，商场决定采用降价促销回馈顾客，销售利润不超过30%．经试验，发现该款T恤在6月份销售量的基础上，每降价1元，月销售量就会增加20件．如何定价才能使利润最大？并求出最大利润是多少元？

查看试题解析
24. 已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，将矩形 $A B C D$ 绕A顺时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，得到矩形 $A E F G$ ，点B的对应点是点E ，点C的对应点是点F ，点D的对应点是点G ．

(1)、如图①；当 $α = 90 °$ 时，连接 $C F$ ，求 $C F$ 的长；

(2)、如图②，当边 $E F'$ 经过点D时，延长 $F E$ 交 $B C$ 于点P ，求 $E P$ 的长；

(3)、连接 $C F$ ，点M是 $C F$ 的中点，连接 $B M$ ，在旋转过程中，线段 $B M$ 的最大值．

查看试题解析
25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a \neq 0$ ）的顶点为 $M (1 ， - 4)$ ，与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．

(1)、若点 $C (0 ， - 3)$ ，求点 $A$ 和点 $B$ 的坐标；

(2)、将点 $A$ 绕点 $B$ 逆时针方向旋转 $90 °$ ，点 $A$ 的对应点为 $A_{1}$ ，若 $A$ ， $A_{1}$ 两点关于点 $M$ 中心对称，求点 $A_{1}$ 的坐标和抛物线解析式：

(3)、在（1）的条件下，点 $P$ 为直线 $B C$ 下方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $P D ∥ x$ 轴，与 $B C$ 相交于点 $D$ ，过点 $P$ 作 $P E ∥ y$ 轴，与轴 $x$ 相交于点 $E$ ，求 $P D + P E$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

查看试题解析