专题05 利用导数解决单调性中求参数问题-2024年高考数学二轮重难点精练

试卷更新日期：2023-11-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知函数f(x)= $a e^{x} - l n x$ 在区间 $(1 ， 2)$ 单调递增，则a的最小值为（）

A、 $e^{2}$ B、 $e$ C、 $e^{- 1}$ D、 $e^{- 2}$

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2. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(x - m)}^{2} - 2 ， x < 0 \\ 2 x^{3} - 3 x^{2} ， x \geq 0 \end{array}$ 的最小值是 $- 1$ ，则实数m的取值范围是（）

A、 $m \leq 0$ B、 $m \geq 1$ C、 $m \geq 3$ D、 $m > 0$

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3. 已知 $l n x - a x^{2} - b \leq 0$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上恒成立，则 $a + 2 b$ 的最小值是（）

A、0 B、-1 C、 $- l n 4$ D、 $- l n 2$

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4. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a l n x$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \geq - 2$ B、 $a < - 2$ C、 $a \geq 0$ D、 $a < 0$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a x + 2}$ ，且 $f^{'} (- 1) = 0$ ，在区间 $(- 2 ， b)$ 上有最小值，则 $b$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $[0 ， + ∞)$

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6. 已知不等式 $e^{k x} + 1 > \frac{(x + 1) l n x}{k x}$ 对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup (\frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0) ∪ (e ， + \infty)$ D、 $(e ， + ∞)$

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7. 已知 $a = e^{- 3}$ ， $b = l n 1.02$ ， $c = s i n 0.04$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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8. 若斜率为1的直线 $l$ 与曲线 $y = l n (x + a)$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 都相切，则实数 $a$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、2 D、0或2

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9. 已知偶函数 $f (x)$ 与其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x) + e^{- x} + x$ 也是偶函数，若 $f (2 a - 1) < f (a + 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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10. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ ，则方程 $f (x) = 4 e$ 解的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、多项选择题

11. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - 1$ ，对于任意的实数 $a$ ， $b$ ，下列结论一定成立的有（）

A、若 $a + b > 0$ ，则 $f (a) + f (b) > 0$ B、若 $a + b > 0$ ，则 $f (a) - f (- b) > 0$ C、若 $f (a) + f (b) > 0$ ，则 $a + b > 0$ D、若 $f (a) + f (b) < 0$ ，则 $a + b < 0$

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三、填空题

12. 设 $a \in (0 ， 1)$ ，若函数 $f (x) = a^{x} + {(1 + a)}^{x}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则a的取值范围是.

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13. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{e^{x}} ， x \geq 0 \\ 3 x - x^{3} ， x < 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x) = a$ 有3个不同实根，则实数 $a$ 取值范围为．

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14. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} + b$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上有零点，则 $a b$ 的最大值为.

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四、解答题

15. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 2 l n a + \frac{3}{2}$ .

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + e^{- x + 1}$ ， $g (x) = a (x^{2} - 2 x) (a < 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的零点个数．

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17. 已知函数 $f (x) = a x e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性；

(2)、若 $a > 0$ 时，方程 $f (x) = l n x - \frac{1}{2} x^{2}$ 有两个不等实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} > e^{2 - x_{1} - x_{2}}$ ．

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18. 设函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}} + a x^{2}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点，设极大值点为 $x_{0} ， x_{1}$ 为 $f (x)$ 的零点，求证： $x_{0} - x_{1} \geq l n 2$ .

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19. 已知函数 $f (x) = 2 x - a l n x$ .

(1)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $\frac{f (x_{1})}{\sqrt{x_{1}}} = \frac{f (x_{2})}{\sqrt{x_{2}}} = \sqrt{m}$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $x_{2} - x_{1} < \frac{\sqrt{m^{2} - 16}}{2}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} (l n x - \frac{3}{2} a)$ ， a为实数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = e$ 处取得极值， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $2 < x_{1} + x_{2} < e$

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21. 已知函数 $f (x) = m e^{x} - 2 x ， m \in R . g (x) = c o s x + \frac{3}{2} x^{2}$ ，其中e为自然对数的底数．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、记函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，若函数 $h (x)$ 存在两个不同的极值点，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + m x^{3} - n x^{2} - x$ （其中e为自然对数的底数），且曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = - x$ ．

(1)、求实数m，n的值；

(2)、证明：对任意的 $x \in R$ ， $f (x) \geq 3 x^{3} - 5 x^{2} + 1$ 恒成立．

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23. 已知 $f (x) = (e^{x} - 1) s i n x$ ， $x \in (0 ， 2 π)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在点 $P (π ， f (π))$ 的切线方程；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x^{2}$ ， $x \in (0 ， 2 π)$ ，判断 $g (x)$ 的零点个数，并说明理由．

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24. 已知函数 $f (x) = a l n x - x^{2}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + (2 - a) x$ 恰有两个零点，求实数a的取值范围．

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25. 设函数 $f (x) = x e^{x} - 2 a e^{x}$ ， $g (x) = - 2 - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上的单调区间；

(2)、若在y轴右侧，函数 $f (x)$ 图象恒不在函数 $g (x)$ 的图象下方，求实数a的取值范围；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} < l n (2 n + 1)$ .

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26. 已知 $f (x) = x^{2} - a e^{x}$ ，存在 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = 0$ ．

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、试探究 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 与3的大小关系，并证明你的结论．

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27. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a (\frac{l n x + x}{x})$ （ $e$ 是自然对数的底数）有两个零点.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 的两个零点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} > e^{2 - x_{1} - x_{2}}$ .

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28. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + 2 a x - 1$ ，其中a为常数，e为自然对数底数， $e = 2.71828$ …，若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、证明： $\sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{2} - 1} > 2$ .

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29. 已知函数 $f (x) = e^{m x - 1} - x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $m > 0$ 时，函数 $g (x) = f (x) - \frac{l n x + 1}{m} + x$ 恰有两个零点.
（i）求m的取值范围；
（ii）证明： $g (x) > m^{\frac{1}{m}} - m^{- \frac{1}{m}}$ .

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30. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{a} e^{x} - 3 x$ ，其中 $a \neq 0$ ．

(1)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) \geq a (1 - 2 s i n x)$ ，求 $a$ 的取值范围．

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31. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = \frac{x^{a}}{a^{x}} (x > 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = 1$ 恰有一个交点，求 $a$ 取值范围.

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