专题04 利用导数解决切线（公切线）问题-2024年高考数学二轮重难点精练

试卷更新日期：2023-11-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，直线 $y = \frac{1}{e} x + m + 1$ 与曲线 $y = l n x - n + 2$ 相切，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值是（）

A、16 B、12 C、8 D、4

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2. 曲线 $y = ln x - \frac{2}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $cos 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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3. 已知函数 $f (x) = c o s 2 x ， x \in (0 ， π ）$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线斜率为 $\frac{8}{5}$ ，则 $s i n x_{0} - c o s x_{0} =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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4. 若直线 $y = k_{1} x + b_{1}$ 与直线 $y = k_{2} x + b_{2} (k_{1} \neq k_{2})$ 是曲线 $y = l n x$ 的两条切线，也是曲线 $y = e^{x}$ 的两条切线，则 $k_{1} k_{2} + b_{1} + b_{2}$ 的值为（）

A、 $e - 1$ B、0 C、-1 D、 $\frac{1}{e} - 1$

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (x) = - 2 x^{3} + 3 a x^{2} - f^{'} (1) x$ ，则函数 $f (x)$ 的图象在点 $(- 2 ， f (- 2))$ 处的切线的斜率为（）

A、-21 B、-27 C、-24 D、-25

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6. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{5}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（）

A、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{12}{5} ， \frac{29}{10})$ B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{10})$ 单调递增 C、若 $x = \frac{3 π}{25}$ 是 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 上的第一个极值点，则 $ω = \frac{16}{5}$ ； D、若 $x = \frac{3 π}{25}$ 是 $f (x)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 上的第一个极值点， $y = - \frac{5}{2} x + \frac{4 π}{5}$ 是 $f (x)$ 的切线

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二、多项选择题

7. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $f (x_{1}) = f (x_{2}) = - \frac{3}{2}$ ，则（）

A、函数 $y = f (x)$ 在 $[2 ， 4]$ 上单调递减 B、函数 $y = f (x)$ 在 $[3 ， 6]$ 上的值域为 $[- 1 ， 1]$ C、 $c o s [\frac{π}{6} (x_{2} - x_{1})] = \frac{3}{4}$ D、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线斜率为 $\sqrt{3}$

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8. 已知 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f (x) = x^{3} - f^{'} (0) x^{2} - x + 1$ ，则（）

A、 $f (- 1) = 0$ B、 $f^{'} (0) = - 1$ C、 $f (x)$ 的图象在 $x = - 1$ 处的切线的斜率为0 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最小值为1

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9. 已知函数 $f (x) = x l n (1 + x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 单调递增 B、 $f (x)$ 有两个零点 C、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- \frac{1}{2} ， f (- \frac{1}{2}))$ 处切线的斜率为 $- 1 - l n 2$ D、 $f (x)$ 是奇函数

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10. 已知 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，直线 $y = x + a$ 与曲线 $y = e^{x - 1} - 2 b + 1$ 相切，则下列不等式成立的是（）

A、 $a b \leq \frac{1}{8}$ B、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \leq 8$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $3^{a + b} \leq \sqrt{3}$

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三、填空题

11. 函数 $f (x) = c o s x - s i n x$ 的图象在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程为．

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12. 函数 $f (x) = x - \frac{a}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $y = 2 x$ 平行，则a＝．

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13. 函数 $f (x) = x^{3} - a l n x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $2 x + y + 1 = 0$ 平行，则实数 $a =$ ．

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14. 已知直线 $y = x + b$ 是曲线 $y = \ln x + 3$ 的一条切线，则b＝．

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15. 函数 $f (x) = \frac{c o s x}{e^{x}}$ 的图象在 $x = 0$ 处切线的倾斜角为．

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16. 已知函数 $f (x) = l n x + x$ ，则 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处切线斜率为．

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17. 函数 $f (x) = \frac{x}{c o s x}$ 的图象在 $x = π$ 处的切线方程为．

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18. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x - c o s 2 x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线与直线 $\frac{1}{2} x + \sqrt{2} y = 0$ 垂直，则 $t a n x_{0} =$ ．

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19. 已知曲线 $C_{1}$ ： $y = x^{2} + a x - 2 a^{2}$ 在 $x = t$ 处的切线为 $l_{1}$ ，曲线 $C_{2}$ ： $y = l n x$ 在 $x = t$ 处的切线为 $l_{2}$ ，若存在实数t使得 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的倾斜角互补，则实数a的取值范围为．

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20. 直线l经过点 $(\frac{3}{5} ， 0)$ ，且与曲线 $y = x^{2} (x + 1)$ 相切，写出l的一个方程．

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21. 若过点 $P (1 ， m) (m \in R)$ 有3条直线与函数 $f (x) = x e^{x}$ 的图象相切，则 $m$ 的取值范围是.

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22. 设 $A (t ， 0) ， P$ 是曲线 $y = e^{x}$ 上的动点，且 $| P A | ⩾ 2 \sqrt{3}$ .则 $t$ 的取值范围是.

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23. 已知函数 $y = 2 l n (x + 1) + s i n x$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线的倾斜角为α，则 $c o s α =$ ．

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24. 曲线 $y = (a x + 2) e^{x}$ 在点 $(0 ， 2)$ 处的切线的斜率为 $- 2$ ，则 $a =$ .

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25. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象在点 $M (1 ， f (1))$ 处的切线方程是 $y = 3 x - 1$ ，则 $f (1) + f^{'} (1) =$ .

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26. 已知 $f (x) = e^{x} - 1$ （ $e$ 为自然对数的底数）， $g (x) = l n x + 1$ ，请写出 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的一条公切线的方程．

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27. 已知直线l是曲线 $y = e^{x} - 1$ 与 $y = l n x + 1$ 的公共切线，则l的方程为.

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28. 若曲线 $y = \frac{(x - 3) (x - 2) (x - 1) x (x + 1) (x + 2)}{x^{2} + l n x - 3} + 4 l n (3 x + 1)$ 在点 $(1 ， 8 l n 2)$ 处的切线与直线 $2 x = a y - 2$ 平行，则 $a =$ .

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29. 过点 $M (- 1 ， 0)$ 引曲线 $C$ ： $y = 2 x^{3} + a x + a$ 的两条切线，这两条切线与 $y$ 轴分别交于 $A ， B$ 两点，若 $| M A | = | M B |$ ，则 $a =$ ．

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四、解答题

30. 已知函数 $f (x) = e^{x} + m x^{3} - n x^{2} - x$ （其中e为自然对数的底数），且曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = - x$ ．

(1)、求实数m，n的值；

(2)、证明：对任意的 $x \in R$ ， $f (x) \geq 3 x^{3} - 5 x^{2} + 1$ 恒成立．

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31. 已知函数 $f (x) = x l n x$ ．

(1)、若直线 $y = 2 x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，求m的值；

(2)、证明： $- \frac{1}{e} \leq f (x) < \frac{e^{x}}{2 x}$ （参考数据： $e^{4} > 54$ ）．

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32. 已知函数 $f (x) = - 2 a^{2} \ln x + \frac{1}{2} x^{2} + a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、当 $a <0$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， e]$ 的最小值.

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33. 定义在 $(- \frac{π}{2} ， + \infty)$ 上的函数 $f (x) = (x - k) s i n x$ .

(1)、当 $k = \frac{π}{6}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；

(2)、将 $f (x)$ 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列 ${x_{n}}$ ，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，求 $k$ 的值.

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34. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - e^{x}$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图像与直线y=-x+1相切，求实数a的值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + x - 1$ 有且只有一个零点，求实数a的取值范围.

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35. 已知函数 $f (x) = \frac{x - a}{x^{2} - 1}$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线斜率为 $- 1$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上有最大值，求 $a$ 的取值范围.

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36. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{1}{e} ， f (\frac{1}{e}))$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = f (x) - k$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ ．

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