专题03 函数的性质综合-2024年高考数学二轮重难点精练

试卷更新日期：2023-11-23 类型：二轮复习

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一、选择题

1. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的函数是（）

A、 $y = x$ B、 $y = | x |$ C、 $y = - x^{2} + 1$ D、 $y = - \frac{2}{x}$

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2. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) - 2 f (x) > 0$ ， $f (- 2) = 1$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x^{2}} < \frac{1}{4}$ 的解集是（）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) ∪ (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， 2)$

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3. 已知符号函数 $s g n x = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ 0 ， x = 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ ，偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = x$ ，则（）

A、 $s g n [f (x)] > 0$ B、 $f (\frac{2021}{2}) = 1$ C、 $s g n [f (2 k + 1)] = 1 (k \in Z)$ D、 $s g n [f (k)] = | s g n k | (k \in Z)$

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{4 x}{1 + | x |}$ ，则不等式 $- 3 < f (2 x + 1) < 3$ 的解集是（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2) ∪ (1 ， + \infty)$

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (- x) - f (2 + x) = 0$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = l o g_{2} x$ ，则 $f (\frac{4039}{2}) + f (\frac{9}{4}) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、2 D、3

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6. 函数 $f (x) = \frac{1}{(x - 1) l n | x |}$ 的大致图象是（）．

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - l n (x + 1) - 1 ， x \geq 0 \\ 1 - \frac{1}{e^{x}} + l n (1 - x) ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (e^{x} - 2) + f (e^{2 x}) \leq 0$ ，则实数 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $[0 ， + ∞)$ C、 $[- l n 2 ， 0]$ D、 $(- \infty ， - l n 2]$

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8. 已知 $f (x)$ 的图象如图，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{c o s (π x)}{2 (e^{x} + e^{- x})}$ B、 $f (x) = \frac{c o s (π x)}{2 (e^{x} - e^{- x})}$ C、 $f (x) = \frac{(e^{x} - e^{- x}) c o s (π x)}{2}$ D、 $f (x) = \frac{(e^{x} + e^{- x}) s i n (π x)}{2}$

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9. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x) ， f (1 - x) = 1 - f (x)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上还满足：①当 $x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ；② $f (0) = 0$ ；③ $f (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2} f (x)$ .则 $f (- \frac{5}{3}) + f (\frac{1}{8})$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (5 + x)$ ，且 $f (x + 1)$ 是偶函数，当 $1 \leq x \leq 3$ 时， $f (x) = 2^{x} + \frac{3}{4}$ ，则 $f (l o g_{2} 36) =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $\frac{39}{8}$ D、 $\frac{39}{4}$

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11. 函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{3^{x} + 1}) \cdot c o s x$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + e^{- 2 x + 2}$ ，则（）

A、 $f (x + 1)$ 为奇函数 B、 $f (x + \frac{1}{2})$ 为偶函数 C、 $f (x - 1)$ 为奇函数 D、 $f (x - \frac{1}{2})$ 为偶函数

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13. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{l n | x |}{x}$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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14. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，且 $f (x + 2) - 1$ 为奇函数，则 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k)$ （）

A、-2023 B、-2022 C、2022 D、2023

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15. 设函数 $f (x)$ 在定义域 $R$ 上满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，若 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上是减函数，且 $f (- 1) = 0$ ，则不等式 $f (e^{x}) < 0$ 的解集为（）

A、 $(0 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(\frac{1}{e} ， 1)$

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16. 已知偶函数 $f (x)$ 与其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x) + e^{- x} + x$ 也是偶函数，若 $f (2 a - 1) < f (a + 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ (2 ， + \infty)$

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17. 已知函数 $f (x)$ 同时满足性质：① $f (- x) = f (x)$ ；②当 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 1)$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则函数 $f (x)$ 可能为（）

A、 $f (x) = x^{2}$ B、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ C、 $f (x) = c o s 4 x$ D、 $f (x) = l n (1 - | x |)$

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18. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x) + x^{2}$ 是奇函数， $f (x) - x$ 是偶函数，设函数 $g (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \in [0 ， 1] \\ 2 g (x - 1) ， x \in (1 ， + ∞) \end{array}$ ．若对任意 $x \in [0 ， m] ， g (x) \leq 3$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值为（）

A、 $\frac{13}{3}$ B、 $\frac{17}{4}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{13}{4}$

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19. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x) ， g (x)$ 满足 $f (1) > \frac{1}{2} ， f (2) < \frac{1}{2}$ ，且对于任意 $s ， t$ 均有 $2 f (s) g (t) = g (s + t) - g (s - t) ， 2 g (s) g (t) = f (s - t) - f (s + t)$ ，则（）

A、 $f (0) + g (0) > 1$ B、 $\frac{1}{2} < f (- 1) - g (- 1) < 1$ C、 $f (1) f (2) < g (1) g (2)$ D、 $f (1) f (2) + g (1) g (2) > 1$

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20. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，如果对 $D$ 中的任意一个 $x$ ，都有 $f (x) > 0 ， - x \in D$ ，且 $f (- x) f (x) = 1$ ，则称函数 $f (x)$ 为“类奇函数”．若某函数 $g (x)$ 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（）

A、若0在 $g (x)$ 定义域中，则 $g (0) = 1$ B、若 $g {(x)}_{m a x} = g (4) = 4$ ，则 $g {(x)}_{m i n} = g (- 4) = \frac{1}{4}$ C、若 $g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增，则 $g (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减 D、若 $g (x)$ 定义域为 $R$ ，且函数 $h (x)$ 也是定义域为 $R$ 的“类奇函数”，则函数 $G (x) = g (x) h (x)$ 也是“类奇函数”

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21. “家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园．．．．．．”首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 $x$ 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）

A、 $y = | x | \sqrt{4 - x^{2}}$ B、 $y = x \sqrt{4 - x^{2}}$ C、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 | x |}$ D、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x}$

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二、多项选择题

22. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b^{x} - c^{x}$ ，且 $a ， b ， c \in (0 ， + \infty)$ ， $f (2) = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{1}{2}) > 0$ B、 $f (3) < 0$ C、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减 D、 $f (1) f (- 1)$ 最小值为 $5 - 3 \sqrt{2}$

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23. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (1 + 4^{x}) - \frac{1}{2} x$ ，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + ∞)$ 上是减函数 D、函数 $f (x)$ 的值域为 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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24. 已知 $f (x) = c o s x + t a n x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 有对称轴 C、 $f (x)$ 有对称中心 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增

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25. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{4 | x |}{x^{2} + 4}$ 的定义域是 $[a ， b]$ （ $a$ ， $b \in Z$ ），值域为 $[0 ， 1]$ ，则满足条件的整数对 $(a ， b)$ 可以是（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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26. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $[1 + f (x)] f (x + 1) + 1 = 0$ ，且当 $x \in [1 ， 2)$ 时， $f (x) = x^{2} - 3 x$ ，则（）

A、 $f (0) = - \frac{1}{2}$ B、 $f (x)$ 的一个周期为3 C、 $f (x)$ 在 $[2 ， \frac{5}{2})$ 上单调递增 D、 $\sum_{i = 1}^{2023} f (i) = - 1013$

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27. 已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 及其导函数 $f^{^{'}} (x)$ 与 $g^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x)$ 是偶函数， $g (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称，则（）

A、 $g [f (- 1)] = g [f (1)]$ B、 $f [g (3)] = f [g (- 1)]$ C、 $f [g^{'} (3)] = f [g^{'} (- 1)]$ D、 $g [f^{'} (- 1)] = g [f^{'} (1)]$

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28. 定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足如下条件： $① f (x y) = x f (y) + y f (x) ； ②$ 当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0 ；$ 则下列结论中正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (x y) = f (x) f (y)$ C、 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增 D、不等式 $x f (x - \frac{3}{2}) \geq (\frac{3}{2} - x) f (x)$ 的解集为 $[2 ， + \infty)$

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29. 若定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x y})$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，则下列结论正确的是（）．

A、若 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- 1 ， 1)$ ， $x_{2} > | x_{1} |$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ B、若 $f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}$ ，则 $f (\frac{40}{41}) = - 2$ C、若 $f (2 - x) + g (x) = 4$ ，则 $g (x)$ 的图像关于点 $(2 ， 4)$ 对称 D、若 $α \in (0 ， \frac{π}{4})$ ，则 $f (s i n 2 α) > 2 f (s i n α)$

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30. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{\frac{1}{x}}$ ，则（）

A、 $f (x) = f (- x)$ B、 $f (x)$ 的最小值为 $2 e$ C、 $f (x) f (- x)$ 的最小值为 $4$ D、 $f (x)$ 在区间 $(- 1 ， 0)$ 上单调递增

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三、填空题

31. 若函数 $y = f (x)$ 为偶函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (1) =$ .

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32. 设函数 $f (x + 1)$ 的图象关于y轴对称，当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $f (x) = e^{- x}$ ，则 $f (l n 3)$ 的值为.

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33. 已知函数 $y = f (2 x + 1)$ 为偶函数，且 $f (x) + f (- x) = 2$ ，则 $f (2022) + f (2024) =$ .

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34. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x + 1) - 2$ 为奇函数，且 $f (1 - x) = f (3 + x)$ ，则 $f (2023) =$ .

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35. 已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{l n | x |}{x}$ ，给出下列四个结论：
①函数 $f (x)$ 是奇函数； ②函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 和 $(0 ， + \infty)$ 上都单调；

③当 $x > 0$ 时，函数 $f (x) > 0$ 恒成立； ④当 $x < 0$ 时，函数 $f (x)$ 有一个零点.

其中所有正确结论的序号是 .

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四、解答题

36. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{2^{x + 1} + a}$ 是奇函数．

(1)、求实数 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 的单调性并给予证明；

(3)、求函数 $f (x)$ 的值域．

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