【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第22题

试卷更新日期：2023-11-21 类型：二轮复习

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一、原题

1.

(1)、证明：当 $0 < x < 1$ 时， $x - x^{2} < s i n x < x$

(2)、已知函数 $f (x) = c o s a x - l n (1 - x^{2}) ，$ 若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求a的取值范围.

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二、基础

2. 已知函数 $f (x) = \frac{a (l n x + a)}{x}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间 $；$

(2)、求证：当 $a > 0$ 时， $f (x) \leq e^{2 a - 2}$ ．

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3. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、若 $f (x) \leq x^{2}$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上有解，求实数a的取值范围.

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4. 已知：函数 $f (x) = (a x + 1) l n (x) - a x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围.

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5. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a s i n x - 1 (a \in R)$ ，

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 时取得极小值，求 $a$ 的值；

(3)、若存在实数 $m$ ，使对任意的 $x \in (0 ， m)$ ，都有 $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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6. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a l n (a x + 1) - 1$ ，其中 $a > 0 ， x \geq 0$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、若函数 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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7. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + 2 a x - 1$ ，其中a为常数，e为自然对数底数， $e = 2.71828$ …，若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .

(1)、求实数a的取值范围；

(2)、证明： $\sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{x_{2} - 1} > 2$ .

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - k x^{2} + \frac{1}{2} (k \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值，求k的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) + (x - 1) e^{x}$ ，当 $0 \leq k < \frac{1}{2}$ 时，判断函数 $g (x)$ 的零点个数．

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9. 设函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{2} x^{2} - m x - \frac{n}{x}$ （ $m$ 、 $n$ 均为实数）.

(1)、当 $m = 2$ 时，若 $f (x)$ 是单调增函数，求 $n$ 的取值范围；

(2)、当 $n > 0$ 时，求 $f (x)$ 的零点个数.

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10. 已知函数 $f (x) = m e^{x} + \frac{l n x - 2}{x} + 1$ .

(1)、若 $m = 0$ ，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - \frac{1}{2} x^{2} + x - m l n x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程．

(2)、若存在 $x_{1} \neq x_{2}$ 使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明：
（i） $m > 0$ ；
（ii） $2 m > e (l n x_{1} + l n x_{2})$ ．

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12. 已知函数 $f (x) = a l n x - \frac{x - 1}{x + 1}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间：

(2)、若 $g (x) = a (x^{2} - 1) l n x - {(x - 1)}^{2}$ （ $a \neq 0$ ）有3个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ．求证： $(3 a - 1) (x_{1} + x_{3} + 2) < 2$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = l n (1 + x)$ ， $g (x) = a x^{2} + x$ .

(1)、当 $x > - 1$ 时， $f (x) \leq g (x)$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知 $n \in N^{*}$ ，证明： $s i n \frac{1}{n + 1} + s i n \frac{1}{n + 2} + ⋯ + s i n \frac{1}{2 n} < l n 2$ .

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14. 已知函数 $f (x) = e^{x} + c o s x - s i n x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.

(1)、证明：当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) \geq 0$ ；

(2)、判断函数 $g (x) = e^{2 x - \frac{π}{2}} [f (x) + f (2 x) - e^{2 x}] - 1$ 的零点个数.

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三、提升

15. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} + e^{- x + 1}$ ， $g (x) = a (x^{2} - 2 x) (a < 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、讨论函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的零点个数．

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16. 已知函数 $f (x) = a x e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性；

(2)、若 $a > 0$ 时，方程 $f (x) = l n x - \frac{1}{2} x^{2}$ 有两个不等实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} > e^{2 - x_{1} - x_{2}}$ ．

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17. 设函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}} + a x^{2}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点，设极大值点为 $x_{0} ， x_{1}$ 为 $f (x)$ 的零点，求证： $x_{0} - x_{1} \geq l n 2$ .

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18. 已知函数 $f (x) = a (1 - \frac{1}{x^{2}}) - \frac{l n x}{x^{2}} + (x - 1)^{2}$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明：当 $0 < a < \frac{1}{2}$ 时，对任意 $x \in (\frac{1}{a} - 1 ， + \infty)$ ，总有 $f (x) > {(\frac{1}{a} - 2)}^{2}$ ．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{2} (l n x - \frac{3}{2} a)$ ， a为实数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = e$ 处取得极值， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $2 < x_{1} + x_{2} < e$

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x s i n x - x - 1 ， a \in R$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，证明：当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) > 0$ ；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上零点个数.

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21. 设函数 $f (x) = x e^{x} - 2 a e^{x}$ ， $g (x) = - 2 - a x$ ， $a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， + \infty)$ 上的单调区间；

(2)、若在y轴右侧，函数 $f (x)$ 图象恒不在函数 $g (x)$ 的图象下方，求实数a的取值范围；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} < l n (2 n + 1)$ .

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四、培优

22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x l n x - 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、求证： $f (x) + x^{2} f (\frac{1}{x}) = 0$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ．
①求a的取值范围；
②求证： $x_{1} + x_{3} > 2 a - 2$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} + (a + 2) x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，若关于x的不等式 $f (x) \leq - \frac{2}{a} + b - 1$ 恒成立，求实数b的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ 时，证明： $l n (n + 1) \geq 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ⋯ + \frac{1}{n + 1}) - n l n 2$ ．

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24. 设函数 $f (x) = l n (x + 1) - \frac{1}{2} a x^{2} ， g (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - a x e^{x}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、设 $F (x) = f (x) + g (x)$ ，当 $0 < a < 1$ 时，
①证明：函数 $F (x)$ 恰有两个零点；
②若 $x_{0}$ 为函数 $F (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为函数 $F (x)$ 的零点，且 $x_{1} > x_{0}$ ，证明： $2 x_{0} > x_{1}$ .

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25. 已知函数 $f (x) = 2 x - a l n x$ .

(1)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $\frac{f (x_{1})}{\sqrt{x_{1}}} = \frac{f (x_{2})}{\sqrt{x_{2}}} = \sqrt{m}$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $x_{2} - x_{1} < \frac{\sqrt{m^{2} - 16}}{2}$ .

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26. 已知 $f (x) = (e^{x} - 1) s i n x$ ， $x \in (0 ， 2 π)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在点 $P (π ， f (π))$ 的切线方程；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x^{2}$ ， $x \in (0 ， 2 π)$ ，判断 $g (x)$ 的零点个数，并说明理由．

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27. 已知函数 $f (x) = m x e^{- x} + x - l n x (m \in R)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、若 $m > 0$ ， $f (x)$ 的最小值是 $1 + l n m$ ，求实数m的所有可能值.

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28. 已知函数 $f (x) = a l n x - x^{2}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + (2 - a) x$ 恰有两个零点，求实数a的取值范围．

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29. 已知 $f (x) = e^{x} ， g (x) = l n x$ .

(1)、若存在实数 $a$ ，使得不等式 $f (x) - g (x) \geq f (a) - g (a)$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求 $f (a) \cdot g (a)$ 的值；

(2)、若 $1 < x_{1} < x_{2}$ ，设 $k_{1} = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} ， k_{2} = \frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ，证明：
①存在 $x_{0} \in (x_{1} ， x_{2})$ ，使得 $\frac{k_{1}}{k_{2}} = x_{0} \cdot e^{x_{0}}$ 成立；
② $k_{1} - k_{2} < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} - \frac{1}{\sqrt{x_{1} x_{2}}}$ .

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30. 已知函数 $f (x) = l n x - a x^{2}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性：

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程 $f (x) = 0$ 的两不等实根，求证：
（i） $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 2 e$ ；
（ii） $x_{1} x_{2} > \sqrt{\frac{e}{2 a}}$ ．

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