【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第21题

试卷更新日期：2023-11-21 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $(- 2 \sqrt{5} ， 0)$ ，离心率为 $\sqrt{5}$

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，过点 $(- 4 ， 0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M$ ， $N$ 两点， $M$ 在第二象限，直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 交于 $P$ ，证明：点 $P$ 在定直线上.

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二、基础

2. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，点 $M (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上，且 $\vec{M A_{1}} \cdot \vec{M A_{2}} = - \frac{3}{4}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 斜率不为0的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，记直线 $M P$ 与直线 $M Q$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，当 $k_{1} + k_{2} = 0$ 时，求 $△ M P Q$ 的面积.

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3. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，且点 $(1 ， - \frac{3}{2})$ 在椭圆上．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、椭圆C的左、右顶点分别为A、B ，点P、Q是椭圆C上异于A、B的不同两点，直线BP的斜率为 $k (k \neq 0)$ ，直线AQ的斜率为 $2 k$ ，求证：直线PQ过定点．

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $x + \sqrt{2} y = 0$ ，点 $A (2 ， 1)$ 在 $C$ 上．

(1)、求 $C$ 的方程 $；$

(2)、过 $C$ 右焦点的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $k_{A P} + k_{A Q} = 0$ ，求 $l$ 的方程．

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5. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ ， $| B F | = 2$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l ： y = x - 2 m (m \neq 0)$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A ， C$ 两点，且点 $N (0 ， m)$ ，当 $△ A C N$ 的面积最大时，求直线 $l$ 的方程．

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6. 已知抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F ，点 $A (2 ， y_{0})$ 在C上， $| A F | = 2$ ．

(1)、求p；

(2)、过点 $P (0 ， - 2)$ 作直线l ， l与C交于M ， N两点，M关于y轴的对称点为 $M_{1}$ ．判断直线 $M_{1} N$ 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

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7. 椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上顶点为 $B$ ，左焦点为 $F$ ，中心为 $O$ ．已知 $T$ 为 $x$ 轴上动点，直线 $B T$ 与椭圆 $C$ 交于另一点 $D$ ；而 $P$ 为定点，坐标为 $(- 2 ， \sqrt{3})$ ，直线 $P T$ 与 $y$ 轴交于点 $Q$ ．当 $T$ 与 $F$ 重合时，有 $| \vec{P B} | = | \vec{P T} |$ ，且 $2 \vec{B T} = \vec{B P} + \vec{B Q}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $T$ 的横坐标为 $t$ ，且 $t \in (0 ， 1)$ ，当 $△ D T Q$ 面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ 时，求 $t$ 的取值．

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8. 已知双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $(\sqrt{5} ， \frac{1}{2})$ ，一条渐近线方程为 $x - 2 y = 0$ .

(1)、求 $M$ 的方程；

(2)、过 $M$ 的右焦点的直线 $l$ 与 $M$ 的右支交于 $P ， Q$ 两点， $T (- 3 ， 0)$ ，若 $△ T P Q$ 的外接圆圆心 $E$ 在 $y$ 轴上，求直线 $l$ 的方程.

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9. 已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，点 $(\frac{2 \sqrt{2}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3})$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $N (2 ， 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $S_{△ A O B}$ 的最大值.

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10. 已知 $A (- 2 ， 0)$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点，过点 $D (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点（异于点 $A$ ），当直线 $l$ 的斜率不存在时， $| P Q | = 3$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、求 $△ A P Q$ 面积的取值范围．

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11. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $l ： x = - 1$ ，已知动点 $T$ 到点 $F (1 ， 0)$ 的距离等于点 $T$ 到直线 $l$ 的距离，设点 $T$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、过点 $F$ 且斜率为2的直线与曲线 $C$ 交于两个不同的点 $A$ 、 $B$ ，求线段 $A B$ 的长；

(2)、求曲线 $C$ 上的点到直线 $x - y + 4 = 0$ 的最短距离.

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12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $P$ 的横坐标为4，且点 $P$ 到 $F$ 的距离为5，

(1)、求抛物线的方程；

(2)、若斜率为1的直线 $l$ 交抛物线于 $A$ 、 $B$ 两点（位于对称轴异侧），且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \frac{9}{4}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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三、提升

13. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(2 ， 0)$ ，且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若动点 $P$ 在直线 $x = - 1$ 上，过 $P$ 作直线交椭圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点，且 $P$ 为线段 $M N$ 的中点，再过 $P$ 作直线 $l ⊥ M N$ ，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.

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14. 已知点 $F$ 为抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点 $P (1 ， 2)$ ， $Q (0 ， 1)$ ，且 $| P F | = | Q F |$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、若正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 、 $B$ 在直线 $l$ ： $x - y + 2 = 0$ 上，顶点 $C$ 、 $D$ 在抛物线 $C$ 上，求 $| F C | + | F D |$ ．

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15. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点与抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x ， (p > 0)$ 的焦点重合， $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过 $C_{1}$ 的右焦点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线截 $C_{2}$ 所得的弦长为4．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、过点 $M (3 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C_{1}$ 交于 $A ， B$ 两点，点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $E$ ，证明：直线 $A E$ 过定点．

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16. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $B$ 为 $C$ 的上顶点，且 $△ B F_{1} F_{2}$ 的周长为 $2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 2$ 上任意一点 $P$ 处的切线 $l$ 交椭圆 $C$ 于点 $M$ 、 $N$ ．求证： $\frac{1}{| O M |^{2}} + \frac{1}{| O N |^{2}}$ 为定值．

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17. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，点 $A$ ， $B$ ， $D$ 分别是椭圆 $C$ 的左、右、上顶点， $F$ 是 $C$ 的左焦点，坐标原点 $O$ 到直线 $D F$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，求 $\vec{F P} \cdot \vec{F Q}$ 的取值范围.

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $A (- 1 ， 0) 、 B (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足： $k_{1} \cdot k_{2} = m$ ，其中 $m$ 是非零常数， $k_{1} 、 k_{2}$ 分别为直线 $P A 、 P B$ 的斜率.

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $Γ$ 的方程，并讨论 $Γ$ 的形状与 $m$ 值的关系；

(2)、当 $m = - 4$ 时，直线 $y = k x + b$ 交曲线 $Γ$ 于 $C 、 D$ 两点， $O$ 为坐标原点.若线段 $C D$ 的长度 $| C D | = 2$ ， $△ C O D$ 的面积 $S = 1$ ，求直线 $C D$ 的方程.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P (2 ， \sqrt{2})$ 在椭圆C上，且满足 $\vec{P F_{2}} \cdot \vec{F_{2} F_{1}} = 0$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线 $l ： y = k x + m$ 与椭圆C交于不同的两点M，N，且 $O M ⊥ O N$ （O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程．

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20. 在直角坐标系xOy中已知 $A (- 5 ， 0) ， B (5 ， 0)$ ， P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为 $- \frac{1}{5}$ ．记点P的运动轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为 $Q (\frac{5}{3} ， - \frac{1}{3})$ ，求 $| M N |$ ．

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21. 已知椭圆 $G ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，经过点B（0，1）．设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．

(1)、求椭圆G的标准方程；

(2)、是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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22. 已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且 $△ O A B$ 的重心G在曲线 $9 x^{2} - 6 y + 2 = 0$ 上.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、记曲线 $9 x^{2} - 6 y + 2 = 0$ 与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.

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四、培优

23. 已知动点M在圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 上，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，点 $P$ 满足 $\vec{M N} = \sqrt{3} \vec{P N}$ ，点 $P$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $F (- \sqrt{2} ， 0)$ ，设A，B是曲线 $C$ 上的两点，直线AB与曲线 $x^{2} + y^{2} = 1 (x < 0)$ 相切.证明：A，B，F三点共线的充要条件是 $| A B | = \sqrt{3}$ .

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24. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，上顶点为 $B$ ， $c o s ∠ A_{1} B A_{2} = - \frac{3}{5}$ ， $C$ 的长轴长比短轴长大 $4$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、斜率存在且不为 $0$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点 $($ 异于点 $A_{1})$ ，且 $| \vec{A_{1} P} + \vec{A_{1} Q} | = | \vec{A_{1} P} - \vec{A_{1} Q} |$ ，证明：直线 $l$ 恒过定点，并求出定点坐标．

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25. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $O$ 为坐标原点，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支相交于 $A ， B$ 两点.

(1)、当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时， $O A ⊥ O B$ ，求 $C$ 的离心率；

(2)、当 $C$ 的焦距为2时， $∠ A O B$ 恒为锐角，求 $C$ 的实轴长的取值范围.

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26. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，其虚轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，且离心率为 $\sqrt{5}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (3 ， 1)$ 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点 $A$ 、 $B$ ，在线段 $A B$ 上取点 $M$ 使得 $\frac{| A M |}{| M B |} = \frac{| A P |}{| P B |}$ ，证明：点 $M$ 落在某一定直线上．

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27. 如图，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过椭圆右焦点 $F$ 作两条互相垂直的弦 $A B$ 与 $C D$ ．当直线 $A B$ 的斜率为0时， $| A B | = 4$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求使 $| A B | + | C D |$ 取最小值时直线 $A B$ 的方程．

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28. 已知椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{1}{2}$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过点 $B (0 ， b)$ 且与直线 $B F_{2}$ 垂直的直线交 $x$ 轴负半轴于 $D$ .

(1)、设 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、求证： $2 \vec{F_{1} F_{2}} + \vec{F_{2} D} = \vec{0}$ ；

(3)、设 $a = 2$ ，过椭圆Γ右焦点 $F_{2}$ 且不与坐标轴垂直的直线 $l$ 与椭圆 $Γ$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，点 $M$ 是点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点，在 $x$ 轴上是否存在一个定点 $N$ ，使得 $M$ 、 $Q$ 、 $N$ 三点共线？若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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29. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且与双曲线 $y^{2} - x^{2} = \frac{1}{2}$ 有相同的焦距．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左、右顶点分别为 $A ， B$ ，过左焦点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $D ， E$ 两点（其中点 $D$ 在 $x$ 轴上方），求 $△ A E F$ 与 $△ B D F$ 的面积之比的取值范围．

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30. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ .四个点 $P_{1} (3 ， 1) ， P_{2} (2 ， 3) ， P_{3} (- 2 ， - 3) ， P_{4} (\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{15}}{2})$ 中恰有三点在双曲线 $C$ 上.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x + m$ 与双曲线 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，且 $O M ⊥ O N$ ，求原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离.

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