【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第20题

试卷更新日期：2023-11-21 类型：二轮复习

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一、原题

1. 如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $D A = D B = D C ， B D ⊥ C D ， ∠ A D B = ∠ A D C =$ 60°，E为BC中点.

(1)、证明： $B C ⊥ D A$

(2)、点F满足 $\vec{E F} = \vec{D A}$ ，求二面角D-AB-F的正弦值.

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二、基础

2. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C ， A B = B C = 2 ， P A = P C = \sqrt{10} ， P B = \sqrt{14}$ ，设点 $Q$ 为 $P B$ 上的动点.

(1)、求 $△ Q A C$ 面积的最小值；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $A B C$ 的夹角的余弦值.

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3. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为平行四边形， $∠ P A B = ∠ P C D = \frac{π}{2}$ ，侧面 $P A B ⊥$ 底面ABCD， $P A = A B = 2$ ，且二面角 $P - C D - A$ 的大小是 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ C D$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的正弦值．

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4. 如图，已知四棱锥 $S - A B C D$ 中， $∠ D A B = ∠ A B C = 2 ∠ A B D = 9 0^{∘}$ ， $△ S A B$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的等边三角形且 $S D = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = \frac{1}{2} A D$ .

(1)、证明： $A D ⊥ S B$ ；

(2)、求平面 $B S A$ 与平面 $S C D$ 所成角的余弦值．

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5. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = A D = 4$ ， $B A = B C = 2$ ， M为 $P A$ 中点，过C，D，M的平面截四棱锥 $P - A B C D$ 所得的截面为 $α$ ．

(1)、若 $α$ 与棱 $P B$ 交于点F，画出截面 $α$ ，保留作图痕迹（不用说明理由），求点F的位置；

(2)、求平面 $C D M$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值．

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6. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $A A_{1} = A_{1} B_{1} = 1 ， A B = 2$ ， $∠ A B C = 6 0^{∘} ， A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、若点 $M$ 是 $A D$ 的中点，求证： $C_{1} M$ $∥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、棱 $B C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得二面角 $E - A D_{1} - D$ 的余弦值为 $\frac{1}{3} ?$ 若存在，求线段 $C E$ 的长；若不存在，请说明理由．

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7. 如图，在三棱台ABC— $A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} = B_{1} C_{1} = C_{1} C = \frac{1}{2} B C = 2 ， A B ⊥ B C$ ，平面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若二面角 $B - C_{1} C - A$ 的大小是 $\frac{π}{6}$ ，求线段 $A B$ 的长.

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8. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 和 $△ P B C$ 均是以边长为 $2 \sqrt{2}$ 的等边三角形，且 $A C = 4$ ．

(1)、证明：平面PAC $⊥$ 平面ABC；

(2)、若点M在线段BC上，且 $B M = \frac{1}{3} B C$ ，求二面角 $M - P A - B$ 的余弦值．

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9. 如图1，在五边形 $A B C D E$ 中，四边形 $A B C E$ 为正方形， $C D ⊥ D E$ ， $C D = D E$ ，如图2，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起，使得 $A$ 至 $A_{1}$ 处，且 $A_{1} B ⊥ D E$ ．

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $A_{1} B E$ ．

(2)、求二面角 $C - A_{1} E - D$ 的余弦值．

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10. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD．

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面ABCD；

(2)、设 $P A = A D = 2 A B = 2$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D / / B C$ ，平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求BC的长．

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $D C = 3 A B = 3$ ， $A D = 3$ ， $A B / / C D$ ， $C D ⊥ A D$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为棱 $P C$ 上的点，且 $E C = 2 P E$ ．

(1)、求证： $B E / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P D = 2$ ，二面角 $P - A D - C$ 为 $60 °$ ，求平面 $A P B$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值．

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12. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是等腰直角三角， $A C = B C = A A_{1} = 2$ ， $D$ 为侧棱 $A A_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求二面角 $B_{1} - C D - C_{1}$ 的正弦值.

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13. 如图，多面体 $A_{1} C_{1} D_{1} A B C D$ 是由棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 沿平面 $A_{1} B C_{1}$ 截去一角所得到，在棱 $A_{1} C_{1}$ 上取一点E，过点 $D_{1}$ ， C，E的平面交棱 $B C_{1}$ 于点F．

(1)、求证： $E F ∥ A_{1} B$ ；

(2)、若 $C_{1} E = 2 E A_{1}$ ，求点E到平面 $A_{1} D_{1} C B$ 的距离以及 $E D_{1}$ 与平面 $A_{1} D_{1} C B$ 所成角的大小．

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14. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 是 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $A B_{1}$ $/ /$ 平面 $B C_{1} D$ .

(2)、若 $A B = B C ， ∠ A B C = 90 ° ， ∠ B_{1} A B = 45 °$ ，求二面角 $B_{1} - C_{1} D - B$ 的余弦值.

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三、提升

15. 如图所示，在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{∘} ， D E ∥ B C ， B D = 2 A D = 4$ ， $D E = 1$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ P D E$ 的位置，使平面 $P D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，点 $M$ 满足 $\vec{C M} = 2 \vec{M P}$ .

(1)、证明： $B C ⊥ M E$ ；

(2)、求二面角 $E - P B - C$ 的余弦值.

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16. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面 $A B C D ⊥$ 平面ABEF， $A D / / B C ， A F / / B E ， A D ⊥ A B ， A B ⊥ A F ， A D = A B = 2 B C = 2 B E = 2$ ．

(1)、已知点G为AF上一点，且AG=1，求证： $B G / /$ 平面DCE；

(2)、已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值．

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17. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $A D ∥ B C ， A D = 2 B C ， E$ 为 $P B$ 上的点，且 $P E = 2 E B$ .

(1)、证明： $P D$ $/ /$ 面 $A C E$ ：

(2)、若 $P A ⊥$ 面 $A B C D ， A B ⊥ A D ， P A = A D$ ，面 $P B D ⊥$ 面 $P A C$ ，求二面角 $A - C E - D$ 的正弦值.

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18. 如图，在三棱柱 $B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长均为2，且 $B_{1} C = \sqrt{6}$ ， $∠ A B B_{1} = 60 °$ ， $\vec{B B_{1}} = 3 \vec{B D}$ ．

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ．

(2)、求平面ACD与平面 $A_{1} B_{1} C$ 夹角的余弦值．

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19. 在三棱锥 $S - A B C$ 中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面 $S A C ⊥$ 底面ABC， $S A = S C$ ， $S B = 2 \sqrt{5}$ ，点E在线段SB上，且 $\frac{S E}{E B} = \frac{2}{3}$ ．

(1)、证明： $S B ⊥$ 平面ACE；

(2)、求二面角 $A - S B - C$ 的正弦值．

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20. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $A_{1} C_{1} ⊥ A_{1} B$ .

(1)、证明： $A_{1} A = A_{1} C$ ；

(2)、若 $A_{1} A = 2$ ， $B C_{1} = \sqrt{14}$ ，求平面 $A_{1} C B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值.

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 4$ ， D是 $A C$ 中点， $∠ A A_{1} B_{1} = ∠ B_{1} B C$ ．

(1)、证明： $A A_{1} ⊥ A C$ ；

(2)、若 $B B_{1} ⊥ A B$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，且三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $12 \sqrt{3}$ ，求二面角 $B - B_{1} D - C_{1}$ 的余弦值．

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22. 如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中， $A C = 4 ， B C = 2 ， E F = 1 ， D E = \sqrt{5} ， A D = B E = C F$ .

(1)、求证：平面 $A B E D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若四面体 $B C D F$ 的体积为2，求二面角 $E - B D - F$ 的余弦值.

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23. 如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} / / B B_{1} / / C C_{1}$ ， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 为等边三角形， $A_{1} B_{1} = B B_{1} = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $C C_{1} = 1$ ，点 $M$ 是 $A C$ 的中点．

(1)、若点 $G$ 是 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心，证明；点 $G$ 在平面 $B B_{1} M$ 内；

(2)、求二面角 $B_{1} - B M - C_{1}$ 的正弦值．

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24. 如图，在圆锥 $P O$ 中， $A B$ 是底面的直径， $C$ 是底面圆周上的一点，且 $P O = 3$ ， $A B = 4$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P O M$ ；

(2)、求二面角 $O - P B - C$ 的余弦值.

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25. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 1$ ， △ $P D C$ 是边长为2的等边三角形，平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为线段 $P C$ 上一点.

(1)、设平面 $P A B \cap$ 平面 $P D C = l$ ，证明： $l / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、是否存在这样点 $E$ ，使平面 $A D E F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $60 °$ ，如果存在，求 $\frac{| C E |}{| C P |}$ 的值；如果不存在，请说明理由.

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四、培优

26. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，矩形 $B D E F$ 所在平面与平面 $A B C D$ 互相垂直，且 $A B = B C = B F = 1$ ， $A D = C D = \sqrt{3}$ ， $E F = 2$ ．

(1)、求证： $B C$ $⊥$ 平面 $C D E$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - D$ 的平面角的余弦值．

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27. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C$ ， $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ， $\vec{C_{1} N} = 2 \vec{N A_{1}}$ ．

(1)、证明： $B_{1} C ∥$ 平面 $B M N$ ；

(2)、若 $B C = \sqrt{3} A B$ ，求二面角 $B - M N - A$ 的余弦值．

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28. 如图1，圆的内接四边形ABCD中， $∠ D A C = 4 5^{∘}$ ， $∠ C A B = 6 0^{∘}$ ，直径 $A C = 2$ ．将圆沿AC折起，并连接OB、OD、BD，使得△BOD为正三角形，如图2．

(1)、证明：图2中的 $A B ⊥$ 平面BCD；

(2)、在图2中，求二面角 $O - B D - C$ 的余弦值．

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29. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面 $α$ 与棱PC，PD分别交于点G，F，M在线段AE上，且 $A M = 2 M E$ ．

(1)、求证：BG//平面 $C F M$ ；

(2)、若PA⊥平面ABCD，且 $P A = 6$ ，求平面CFM与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

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30. 如图，在四棱锥 $Q - A B C D$ 中，点E，F分别在棱QA，QC上，且三棱锥 $E - A B D$ 和 $F - B C D$ 均是棱长为2的正四面体，AC交BD于点O．

(1)、求证： $O Q ⊥$ 平面ABCD；

(2)、求平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值．

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31. 圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中，四边形 $D E F G$ 为过轴 $O_{1} O_{2}$ 的截面， $D G = 4 \sqrt{2}$ ， $D E = 16$ ， $△ A B C$ 为底面圆 $O_{1}$ 的内接正三角形， $A B ∥ D E$ ．

(1)、证明： $C O_{2} ⊥$ 平面 $A B F G$ ；

(2)、求平面 $F C D$ 与平面 $A B F G$ 所成角的正弦值．

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