【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第19题

试卷更新日期：2023-11-21 类型：二轮复习

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一、原题

1. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳形，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 $p (c)$ ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 $q (c)$ .假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)、当漏诊率 $P (c) = 0.5 %$ 时，求临近值c和误诊率 $q (c)$ ；

(2)、设函数 $f (c) = p (c) + q (c)$ ，当 $c \in [95 ， 105]$ 时，求 $f (c)$ 的解析式，并求 $f (c)$ 在区间 $[95 ， 105]$ 的最小值.

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二、基础

2. 某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A ， B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．

(1)、根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；

B学科良好
B学科不够良好
合计
A学科良好

A学科不够良好

合计

(2)、用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A ， B学科均良好的人数为随机变量X ，求X的分布列与数学期望．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.15
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
2.072

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3. 近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨．某学生兴趣小组在8月9日随机抽取了该市100人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，锻炼时间不少于40分钟的人称为“运动达人”．

(1)、估算这100人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；

(2)、根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此判断是否有95%的把握认为“运动达人”与性别有关．

非“运动达人”
“运动达人”
合计
男性

15
45
女性

合计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， n＝a+b+c+d，
临界值表：
p（K²≥k）
0.05
0.01
k
3.841
6.635

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4. 为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组 $[45 ， 55)$ ，第二组 $[55 ， 65)$ ，第三组 $[65 ， 75)$ ，第四组 $[75 ， 85)$ ，第五组 $[85 ， 95)$ .已知图中第三组频率为 $0.45$ ，第一组和第五组的频率相同.

(1)、求a ， b的值；

(2)、估算高分（大于等于80分）人数；

(3)、估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数.（中位数精确到0.1）

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5. 2022年“中国航天日”线上启动仪式在4月24日上午举行，为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取50名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值，并估计这50名同学的平均成绩；

(2)、先用分层抽样的方法从评分在 $[40 ， 60)$ 和 $[80 ， 100]$ 的同学中抽取5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名，求这2名同学的分数都在区间 $[80 ， 100]$ 的概率．

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6. 某企业为了深入学习贯彻党的二十大精神，组织全体 $120$ 位党员开展“学习二十大，争当领学人”党史知识竞赛，所有党员的成绩均在 $[75 ， 100]$ 内，成绩分成 $5$ 组，按照下面分组进行统计分析：第 $1$ 组 $[75 ， 80)$ ，第 $2$ 组 $[80 ， 85)$ ，第 $3$ 组 $[85 ， 90)$ ，第 $4$ 组 $[90 ， 95)$ ，第 $5$ 组 $[95 ， 100]$ ，并绘制成频率分布直方图如图所示，按比例分配的分层抽样的方法在第 $3$ ， $4$ ， $5$ 组共选取 $6$ 人作为企业“二十大精神”的宣传使者．

(1)、根据频率分布直方图，估计党员成绩的样本数据的第 $80$ 百分位数；

(2)、若从 $6$ 位宣传使者中随机选取两人参加宣传活动，求第 $3$ 组中至多有一人被选中的概率．

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7. 为响应商务部“2023消费提振年”、“百城联动”汽车节和“千县万镇”新能源汽车消费季活动，西安市相关部门为了解现有的新能源汽车充电设备的覆盖和使用情况，随机选取了100名新能源汽车车主进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（满分100）按照 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， …， $[90 ， 100]$ 分成5组，制成频率分布直方图如图所示．

(1)、求频率分布直方图中x的值；

(2)、估计这组数据的众数、平均数和中位数．

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8. 某市3000名市民参加亚运会相关知识比赛，成绩统计如图所示．

(1)、求a的值，并估计该市参加考试的3000名市民中，成绩在[80，90）上的人数；

(2)、若在本次考试中前1500名参加复赛，则进入复赛市民的分数应当如何制定（结果用分数表示）．

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9. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 $c$ ，将该指标大于 $c$ 的人判定为阳性，小于或等于 $c$ 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 $p (c)$ ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 $q (c)$ ．假设数据在组内均匀分布．

(1)、当漏诊率 $p (c) = 0.5 %$ 时，求临界值 $c$ 和误诊率 $q (c)$ ；

(2)、已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值 $c = 99$ ，从样本中该医学指标在 $[95 ， 105]$ 上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？

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10. 为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位： $t$ ），将数据按照 $[4.5 ， 5.5)$ ， $[5.5 ， 6.5)$ ， $[6.5 ， 7.5)$ ， $[7.5 ， 8.5)$ ， $[8.5 ， 9.5)$ ， $[9.5 ， 10.5]$ 分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9.

(1)、在这500个家庭中月均用水量在 $[7.5 ， 8.5)$ 内的家庭有多少户？

(2)、求 $a ， b$ 的值；

(3)、估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

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11. 成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区 $．$ 某景区为了提升服务品质，对过去 $100$ 天每天的游客数进行了统计分析，发现这 $100$ 天每天的游客数都没有超出八千人，统计结果见下面的频率分布直方图：

为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了 $5$ 天，统计出这 $5$ 天的游客数 $($ 千人 $)$ 分别为 $0.8$ 、 $3.7$ 、 $5.1$ 、 $5.6$ 、 $6.8$ ，已知这 $5$ 天的最高气温 $(℃)$ 依次为 $8$ 、 $18$ 、 $22$ 、 $24$ 、 $28$ ．

参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是 $\overset{\hat{}}{y} = \overset{\hat{}}{b} x + \overset{\hat{}}{a}$ ；其中： $\overset{\hat{}}{b} = \frac{\sum^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} = \frac{\sum^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\overset{\hat{}}{a} = \bar{y} - b \bar{x}$ ．

本题参考数据： $\sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 70$ ， $\sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x})^{2} = 232$ ．

(1)、根据以上数据，求游客数 $y$ 关于当天最高气温 $x$ 的线性回归方程 $($ 系数保留一位小数 $)$ ；

(2)、根据（1）中的回归方程，估计该景区这 $100$ 天中最高气温在 $20 ℃ ～ 26 ℃$ 内的天数 $($ 保留整数 $)$

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12. 我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”最新一批科学图像于2022年12月13日在京发布，其中多幅图像质量达到国际领先水平，验证了“夸父一号”三台有效载荷的观测能力和先进性，“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，于2022年10月9日成功发射，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射，研究它们的形成、演化、相互作用和彼此关联，同时为空间天气预报提供支持、某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有40人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣.

(1)、请补充完整

2 \times 2

列联表，并依据小概率值

α = 0.005

的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？

	感兴趣	不感兴趣	合计
男生
女生
合计

(2)、从兴趣小组100人中任选1人，

A

表示事件“选到的人是男生”，

B

表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求

P (B | A)

；

(3)、按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为6的样本，再从抽取的6人中随机抽取2人，随机变量

X

表示2人中女生的人数，求

X

的分布列和数学期望.

附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

临界值表：

$α$	0.15	0.10	0.05	0.01	0.005
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879

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三、提升

13. 某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分 $100$ 分 $(95$ 分及以上为认知程度高 $)$ ，结果认知程度高的有 $m$ 人，按年龄分成 $5$ 组，其中第一组： $[20 ， 25)$ ，第二组： $[25 ， 30)$ ，第三组： $[30 ， 35)$ ，第四组： $[35 ， 40)$ ，第五组： $[40 ， 45]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有 $10$ 人．

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $m$ 人年龄的第 $75$ 百分位数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取 $40$ 人，担任“民法典”知识的宣传使者．
①若有甲 $($ 年龄 $23)$ ，乙 $($ 年龄 $43)$ 两人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取 $2$ 名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为 $36$ 和 $1$ ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为 $42$ 和 $2$ ，据此估计这 $m$ 人中 $35 ～ 45$ 岁所有人的年龄的方差．

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14. 某校举行了一次高一年级数学竞赛，笔试成绩在50分以上（包括50分，满分100分）共有100人，分成[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图估计这次数学竞赛成绩的平均数和中位数（中位数精确到0.1）；

(2)、为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，通过分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任取3人，求此3人分数都在[60，70）的概率．

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15. 某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位：min）进行统计，按照 $[55 ， 65)$ ， $[65 ， 75)$ ， $[75 ， 85)$ ， $[85 ， 95)$ 进行分组，得到下列统计图.

(1)、分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数；

(2)、分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？

(3)、从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取2人，求抽取2人中，恰有1人生产时间少于65min的概率.

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16. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 $[155 ， 160)$ ，第二组 $[160 ， 165)$ ， $⋯$ ，第八组 $[190 ， 195]$ ，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

(1)、求第七组的频率；

(2)、估计该校的800名男生的中位数；

(3)、若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件 $E = {| x - y | \leq 5}$ ，求 $P (E)$ ．

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17. 杭州2022年第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举行．随着亚运会的临近，亚运会的热度持续提升．为让更多的人了解亚运会运动项目和亚运精神，某中学举办了亚运会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、试根据频率分布直方图求出这100名学生中成绩低于60分的人数；

(2)、试估计这100名学生成绩的第75百分位数；

(3)、若采用分层抽样的方法从成绩在 $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，求抽取的2人成绩都在 $[80 ， 100]$ 的概率．

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18. 《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》提出“构建智慧高效的生态环境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计算等新信息技术在生态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化．某科技公司开发出一款生态环保产品，已知该环保产品每售出1件预计利润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每件亏损0.2万元．根据市场调研，该环保产品的市场月需求量在 $[155 ， 205]$ 内取值，将月需求量区间平均分成5组，画出频率分布直方图如下．

(1)、请根据频率分布直方图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ ．

(2)、若该环保产品的月产量为185件，x（单位：件， $155 ≤ x ≤ 205$ ， $x \in N^{*}$ ）表示该产品一个月内的市场需求量，y（单位：万元）表示该公司生产该环保产品的月利润．
①将y表示为x的函数；

②以频率估计概率，标准差s精确到1，根据频率分布直方图估计 $x \in [\bar{x} - s ， \bar{x} + s]$ 且y不少于68万元的概率．

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19. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在 $[60 ， 80)$ 的老年人的年收入按年龄 $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ 分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在 $[60 ， 70)$ 的老年人500人．年龄在 $[70 ， 80)$ 的老年人300人．现作出年龄在 $[60 ， 70)$ 的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）．

(1)、根据频率分布直方图，估计该地年龄在 $[60 ， 70)$ 的老年人年收入的平均数及第95百分位数；

(2)、已知年龄在 $[60 ， 70)$ 的老年人年收入的方差为3，年龄在 $[70 ， 80)$ 的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在 $[60 ， 80)$ 的老年人年收入的方差．

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20. 新冠病毒引发的肺炎疫情在全球发生，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区 $500$ 名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图.潜伏期不高于 $6$ 天的患者，称“短潜伏者”，潜伏期高于 $6$ 天的患者，称“长潜伏者”.

(1)、求这 $500$ 名患者中“长潜伏者”的人数，并估计样本的 $80 %$ 分位数（精确到 $0.1$ ）；

(2)、研究发现，有 $5$ 种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有 $2$ 种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这 $2$ 种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是 $500$ 元，设所需要的试验费用为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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21. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在 $[70 ， 80)$ 内的学生获三等奖，得分在 $[80 ， 90)$ 内的学生获二等奖，得分在 $[90 ， 100]$ 内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图.
附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

(1)、现从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生中恰有1名学生获奖的概率；

(2)、估计这100名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)、若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $σ \approx 14$ ， $μ$ 为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78分的学生人数（结果四舍五入到整数）.

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22. 在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位： $h$ )的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.

(1)、求频率分布直方图中实数 $a ， b$ 的值；

(2)、每天学习时间在 $[6.0 ， 6.5)$ 的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电舌访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；

(3)、依据所抽取的样本，从每天学习时间在 $[6.0 ， 6.5)$ 和 $[7.0 ， 7.5)$ 的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在 $[6.0 ， 6.5)$ 的人数 $X$ 分布和数学期望.

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四、培优

23. 某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组： $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、补全频率分布直方图，若只有 $20 %$ 的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；

(2)、采用分层随机抽样的方法从成绩为80~100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；

(3)、进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有 $A +$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 五个等级．若两科笔试成绩均为 $A +$ ，则直接参加；若一科笔试成绩为 $A +$ ，另一科笔试成绩不低于 $B$ ，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得 $A +$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的概率分别为 $\frac{2}{5}$ ， $\frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{12}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{3}{20}$ ；乙在每科笔试中取得 $A +$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的概率分别为 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{2}{5}$ ， $\frac{1}{10}$ ， $\frac{1}{20}$ ；丙在每科笔试中取得 $A +$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{5}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{20}$ ， $\frac{1}{60}$ ；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为 $\frac{1}{5}$ ， $\frac{5}{16}$ ， $\frac{5}{9}$ ．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．

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24. 为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位： $k W \cdot h$ ），将全部数据按区间 $[0 ， 50) ， [50 ， 100) ， \cdot \cdot \cdot ， [350 ， 400]$ 分成8组，得到如下的频率分布直方图：

(1)、求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）．

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25. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： $c m$ ），按照区间 $[160 ， 165)$ ， $[165 ， 170)$ ， $[170 ， 175)$ ， $[175 ， 180)$ ， $[180 ， 185]$ 分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

(1)、求频率分布直方图中 $x$ 的值及身高在 $170 c m$ 及以上的学生人数；

(2)、估计该校100名生学身高的75％分位数．

(3)、若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $m$ ， $\bar{x}$ ， $S_{1}^{2}$ ； $n$ ， $\bar{y}$ ， $S_{2}^{2}$ ．记总的样本平均数为 $\bar{w}$ ，样本方差为 $S^{2}$ ，证明：
① $\bar{w} = \frac{m}{m + n} \bar{x} + \frac{n}{m + n} \bar{y}$ ；

② $S^{2} = \frac{1}{m + n} {m [S_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{w})}^{2}] + n [S_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{w})}^{2}]}$ ．

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26. 为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如右图所示．

(1)、用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

(2)、可以认为这次竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ ， σ²)（用样本平均数和标准差s分别作为μ、σ的近似值），已知样本标准差s≈7.36，如有84%的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少？（结果取整数）

(3)、从得分区间[80，90)和[90，100]的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间[80，90)的概率．
参考数据：若X~N(μ ， σ²)，则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.68，P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.95，P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.99.

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27. 某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在 $[15 ， 65]$ 周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：
附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则： $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6827 ， P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9545 ， P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.9973$

(1)、根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第 $85 %$ 分位数（小数点后保留2位）；

(2)、若所有用户年龄 $X$ 近似服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 为样本平均数的估计值， $σ \approx 10.5$ ，试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例；

(3)、用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户，用 $P (X = k)$ 表示这8名用户中恰有 $k$ 名用户的年龄在区间 $[25 ， 35)$ 岁的概率，求 $P (X = k)$ 取最大值时对应的 $k$ 的值；

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28. 为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，铜川市推出了两套方案，并分别在 $A$ 、 $B$ 两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃圾桶，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.并建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组： $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100)$ ，并整理得到如图所示的频率分布直方图：

(1)、请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；

(2)、以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案，低于70分认为居民不赞成推行此方案，规定小区居民赞成率不低于 $70 %$ 才可在该小区继续推行该方案，判断两小区哪个小区可继续推行方案？

(3)、根据（2）中结果，从可继续推行方案的小区内随机抽取5个人，用 $X$ 表示赞成该小区推行方案的人数，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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29. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：

(1)、从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；

(2)、从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．

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30. 为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛.每位参赛学生答题若干次，答题赋分的方法如下：第 $1$ 次答题，答对得 $20$ 分，答错得 $10$ 分：从第 $2$ 次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得 $10$ 分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为 $\frac{4}{5}$ ，各次答题结果互不影响.

(1)、求甲同学前 $3$ 次答题得分之和为 $70$ 分的概率；

(2)、在甲同学完成 $5$ 次答题，且第 $2$ 次答题答对的条件下，求答题得分之和不大于 $90$ 分的概率；

(3)、记甲同学第 $i$ 次答题所得分数 $X_{i} (i \in N^{*})$ 的数学期望为 $E (X_{i})$ ，求 $E (X_{1})$ ，并写出 $E (X_{i})$ 与 $E (X_{i + 1})$ 满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）.

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	B学科良好	B学科不够良好	合计
A学科良好
A学科不够良好
合计

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001	0.15
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828	2.072

	非“运动达人”	“运动达人”	合计
男性		15	45
女性
合计