上海市奉贤区四校联考2023-2024学年高一上学期数学期中考试试题

试卷更新日期：2023-11-21 类型：期中考试

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 对数式 $l o g_{2}^{} (1 - 3 x)$ 中 $x$ 的取值范围为

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2. 已知集合 $A = (- 2 ， 2) ， B = (- 3 ， - 1)$ ，则 $A ∪ B$ =

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3. 已知 $l o g_{2}^{} x = - 1$ ，则 $x =$ .

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4. 若幂函数 $y = x_{}^{a}$ 的图像经过 $(3 ， \sqrt{3})$ ，则此函数的表达式为

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5. 已知 $a > 0$ ，用有理数指数幂的形式表示 $a_{}^{3} \cdot \sqrt[4]{a_{}^{3}}$ =

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6. 不等式 $3_{}^{x_{}^{2} - 4 x} > \frac{1}{27}$ 的解集为

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7. 下列幂函数在区间 $(0 ， + \infty)$ 上是严格增函数，且图像关于原点成中心对称的有
（请填入全部正确的序号）
① $y = x {}^{\frac{1}{3}}$ ；② $y = x_{}^{\frac{1}{2}}$ ；③ $y = x_{}^{\frac{5}{3}}$ ；④ $y = x_{}^{- \frac{1}{3}}$

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8. 若 $x > 0$ 时，指数函数 $y = {(2 a {}^{2}- 1)}_{}^{x}$ 的值总小于1，则实数 $a$ 的取值范围为

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9. 若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{cases} (2 x - 3) (3 x + 2) \leq 0 \\ x - a > 0 \end{cases}}$ 没有实数解，则实数 $a$ 的取值范围为

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10. 设 $l o g_{0.2}^{} a > 0 ， l o g_{0.2}^{} b > 0 ，$ 且 $l o g_{0.2}^{} a \cdot l o g_{0.2}^{} b = 1$ ，则 $l o g_{0.2}^{} a b$ 的最小值为

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11. 某服装公司生产的衬衫每件定价160元，在某城市年销售10万件.现该公司计划在该市招收代理来销售衬衫，以降低管理和营销成本.已知代理商要收取的代理费为总销售金额的 $r %$ （每100元销售额收取 $r$ 元），且 $r$ 为正整数.为确保单件衬衫的利润保持不变，服装公司将每件衬衫价格提高到 $\frac{160}{1 - r %}$ 元，但提价后每年的销售量会减少 $0.62$ $r$ 万件.若为了确保代理商每年收取的代理费不少于65万元，则正整数 $r$ 的取值组成的集合为

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12. 已知函数 $y = \frac{a x + 1}{x + 2} (a \in R)$ ，若该函数在区间上是严格减函数，且函数值不恒为负，则实数 $a$ 的取值范围为

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二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13. 如果 $a < 0 < b$ ，那么下列不等式中成立的是（）

A、 $\sqrt{- a} < \sqrt{b}$ B、 $a_{}^{2} < b_{}^{2}$ C、 $a_{}^{3} < b_{}^{3}$ D、 $a b > b_{}^{2}$

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14. 若 $a > 0 ， a \neq 1 ， M > 0 ， N > 0$ ，下列运算正确的是（）

A、 $l o g_{a} \sqrt[N]{M} = \frac{1}{N} l o g_{a} M$ B、 ${(l o g_{a} M)}^{N} = N l o g_{a} M$ C、 $(l o g_{a} M) \div (l o g_{a} N) = l o g_{a} (M - N)$ D、 $(l o g_{a} M) + (l o g_{a} N) = l o g_{a} (M + N)$

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15. 设 $a 、 b \in R$ ， “ $a = 0$ ”是“方程 $a x = b$ 的解集为 $R$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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16. 关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 2) \cup (3 ， + \infty)$ ，则下列说法正确的个数是（）个.
① $a < 0$ ；②关于 $x$ 的不等式 $b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 6)$ ；③ $a + b + c > 0$ ；④关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} - b x + a > 0$ 的解集为 $(- ∞ ， - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2} ， + ∞)$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.

(1)、设 $x ， y \in R$ ，用反正法证明：若 $x + y > 2$ ，则 $x > 1$ 或 $y > 1$

(2)、设 $a \in R$ ，比较 ${(a + 1)}_{}^{2}$ 与 $a_{}^{2} - a + 1$ 的值的大小

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18. 已知方程 $x^{2} + 6 m x + 9 m - 2 = 0$ ，且 $x_{1} ， x_{2}$ 是方程的两个不同的实数根.

(1)、若 $m = 1$ ，求 $\frac{1}{x_{1}^{}} + \frac{1}{x_{2}^{}}$ 的值；

(2)、若 $m \in R$ ，且 ${x_{1}^{}}_{}^{2} + {x_{2}^{}}_{}^{2} < 4$ ，求 $m$ 取值范围.

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19. 某新建居民小区欲建一面积为 $700 m_{}^{2}$ 的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道.
设计方案为：绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（单位： $m$ ），人行道的占地面积为 $S$ $m_{}^{2}$ .

(1)、设矩形绿地的南北侧边长为 $x$ $m$ ，试写出 $S$ 关于 $x$ 的函数关系式.

(2)、如何设计绿地的边长，才能使人行道的占地面积最小?(结果精确到0.1 $m$ ）

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20.

(1)、已知集合 $A = {x | | x - a | < 2 |} ， B = {x | \frac{2 x - 1}{x + 2} < 1 |}$ ，且 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知集合 $A = {x | x_{}^{2} - 2 x - 3 > 0 |} ， B = {x | x_{}^{2} + p x + q \leq 0 |}$ ，若 $A ∪ B = R$ 且 $A ∩ B =$ ，求 $p + q$ 的值；

(3)、已知 $k \in R$ ，当 $k$ 变化时，求不等式 $(k x - k_{}^{2} - 4) (x - 4) > 0$ 的解集.

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21. 已知集合 $A$ 为非空数集，定义： $S = {x | x = a + b ， a ， b \in A}$ ， $T = {x | x = | a - b | ， a ， b \in A}$ （ $a ， b$ 实数可以相同）

(1)、若集合 $A = {2 ， 5}$ ，直接写出集合 $S$ 、 $T$ ；

(2)、若集合 $A = {x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}}$ ， $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，且 $T = A$ ，求证： $x_{1} + x_{4} = x_{2} + x_{3}$ ；

(3)、若集合 $A \subseteq {x | 0 \leq x \leq 2021 ， x \in N}$ ， $S \cap T = \emptyset$ ，记 $| A |$ 为集合 $A$ 中元素的个数，求 $| A |$ 的最大值.

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上海市奉贤区四校联考2023-2024学年高一上学期数学期中考试试题

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

三、 解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.