【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第17题

试卷更新日期：2023-11-21 类型：二轮复习

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一、原题

1. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 $\sqrt{3} ，$ D为BC的中点，且AD=1.

(1)、若 $∠ A D C = \frac{π}{3} ，$ 求tanB；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = 8$ ，求b，c.

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二、基础

2. 已知 $△ A B C$ 中角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $2 c s i n A c o s B + 2 b s i n A c o s C = \sqrt{3} a ， c > a$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $b = 2 ， △ A B C$ 的面积 $2 \sqrt{3} ， D$ 是 $B C$ 边上的点，且 $\vec{C D} = 3 \vec{D B}$ ，求 $A D$ .

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3. 在 $△ A B C$ 中， $2 c o s^{2} \frac{B}{2} - 2 s i n \frac{B}{2} c o s \frac{B}{2} = 1$ ．

(1)、求 $∠ B$ ；

(2)、再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一，求 $△ A B C$ 的面积．
条件①： $c o s A = - \frac{1}{2}$ ；条件②： $b = \sqrt{2}$ ；条件③：AB边上的高为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分．

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $(a + c) (s i n A - s i n C) = (\sqrt{3} a - b) s i n$ B.

(1)、求角 $C$ 的值.

(2)、 $s i n A s i n B = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b c o s A - a c o s B = 2 c$ ．

(1)、证明： $t a n B = - 3 t a n A$ ；

(2)、若 $b^{2} + c^{2} = a^{2} + \sqrt{3} b c$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a$ ．

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6. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c o s A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $\frac{a^{2}}{b c} = 2 - \sqrt{3}$ ，求角 $B$ ， $C$ 的大小．

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7. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $t a n B = \sqrt{3} ， c o s C = \frac{1}{3}$ ，且 $b = 3 \sqrt{6}$ .

(1)、求 $c o s A$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

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8. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c.已知 $a s i n A - b s i n B - c s i n C - b s i n C = 0$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $A B = 5$ ， $A C = 3$ ， AD是△ABC的角平分线，求AD的长.

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9. 已知在 $△ A B C$ 中， $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $a ， b ， c$ 分别是角 $A ， B ， C$ 所对的边.

(1)、求 $\tan 2 A$ ；

(2)、若 $\sin (\frac{π}{2} + B) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $c = 2 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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10. 在 $△ A B C$ 中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c.

(1)、若 $B = \frac{π}{4}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ， $a = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、若点D是 $B C$ 边上一点，且 $C D = 2$ ， $B D = 1$ ， $b^{2} + 2 c^{2} = 9$ ，求 $A D$ 的长.

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a = 3$ ， $b c = a^{2} - b^{2} - c^{2}$ ．

(1)、求 $∠ B A C$ ；

(2)、过点A作 $A D ⊥ A B$ ，交线段 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A D = D C$ ，求 $A D$ ．

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12. 记 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $(2 b - c) c o s A = a c o s C$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、设 $B C$ 边上的高 $A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值．

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三、提升

13. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且 $\sqrt{3} s i n C + c o s C = \frac{a + c}{b} ， c = 2$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $△ A B C$ 的面积的取值范围．

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14. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C所对边分别为a ， b ， c ，点O为 $△ A B C$ 的内心，记 $△ O B C$ ， $△ O A C$ ， $△ O A B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，已知 $S_{1}^{2} + S_{3}^{2} - S_{1} S_{3} = S_{2}^{2}$ ， $A B = 2$ .

(1)、在① $a c o s C + c c o s A = 1$ ；② $4 s i n B s i n A + c o s 2 A = 1$ ；③ $\frac{1 - 2 c o s A}{s i n A} + \frac{1 - 2 c o s B}{s i n B} = 0$ 中选一个作为条件，判断 $△ A B C$ 是否存在，若存在，求出 $△ A B C$ 的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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15. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $a c o s \frac{A + C}{2} = b s i n A$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = 2 ， 2 A D = 3 C D$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的周期为 $π$ ，且图像经过点 $(\frac{π}{6} ， 2)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间 $；$

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a f (\frac{C}{2} + \frac{π}{6}) + c = 2 b$ ， $c = 4$ ， $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值．

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17. 在① $A = \frac{π}{3} ， a = \sqrt{3} ， b = \sqrt{2}$ ；② $a = 1 ， b = \sqrt{3} ， A = \frac{π}{6} ；$ ③ $a = \sqrt{2} ， b = \frac{\sqrt{6}}{2} ， B = \frac{π}{3}$ 这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
问题：在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，解三角形.

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18. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，且 $A D = 2$ .

(1)、若 $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $A B = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $B D = 3$ ，求边 $A C$ 的取值范围.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c ， a s i n B + b = \sqrt{3} b c o s A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $∠ A B C > \frac{π}{2}$ ，过 $B$ 作 $B D$ 垂直于 $A B$ 交 $A C$ 于点 $D ， E$ 为 $B C$ 上一点，且 $B E = \sqrt{3} ， D E = 1$ ，求 $A E$ 的最大值.

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $a^{2} - c^{2} - \frac{1}{2} b c = a b c o s C$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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21. $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足： $a c c o s A + a^{2} (c o s C - 1) = b^{2} - c^{2}$ ，

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $a - b$ 的取值范围．

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22. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{3} c = 2 a c o s (B - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求A的值；

(2)、若 $c = 2 ， b = 3$ ， BE为边AC的高，AD为边BC的中线，求 $\vec{A D} \cdot \vec{B E}$ 的值．

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23. 在① $\frac{c}{a - b} = \frac{s i n A + s i n B}{s i n A - s i n C}$ ；② $\frac{2 \sqrt{3}}{3} a c s i n B = a^{2} + c^{2} - b^{2}$ ；③ $a s i n A + a s i n C c o s B + b s i n C c o s A = b s i n B + c s i n A$ ；这三个条件中任选一个（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）补充在下面问题中，并作答．
在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且____．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 满足 $\vec{C D} = 3 \vec{D A}$ ， $B D = 1$ ， $B C = 3 A B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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24. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $c = a c o s B + \frac{\sqrt{3}}{3} b s i n A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A M$ 的最大值.

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四、培优

25. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a c o s B = 2 a - b c o s A$ .

(1)、求 $\frac{s i n C}{s i n A}$ 的值；

(2)、若 $b = 3$ ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $c o s B = \frac{11}{16}$ ；条件②： $s i n C = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ；条件③： $△ A B C$ 的周长为9.

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26. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{2 a - c}{c o s C} = \frac{b}{c o s B}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $B C$ 的中点为 $D$ 且 $A D = \sqrt{3}$ ，求 $a + 2 c$ 的最大值.

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27. 在 $Δ A B C$ 中， $B = \frac{π}{3}$ ，点D在边 $A B$ 上， $B D = 1$ ，且 $D A = D C$ .

(1)、若 $Δ B C D$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $C D$ ；

(2)、设 $∠ D C A = θ$ ，若 $A C = \sqrt{3}$ ，求 $θ$ .

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28. 上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地 $A O B$ 分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为 $60$ 米， $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，动点 $P$ 在扇形 $A O B$ 的弧上，点 $Q$ 在半径 $O B$ 上，且 $P Q / / O A$ .

(1)、当 $O Q = 40$ 米时，求分隔栏 $P Q$ 的长；

(2)、综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角 $O P Q$ 的面积 $S$ 的最大值.

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29. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，其面积为 $S$ ，满足 $\sqrt{3} \vec{C A} \cdot \vec{C B} + 2 S = \sqrt{3} a b$ .

(1)、若 $c = 2$ ，求 $\sqrt{2} | \vec{C A} + \vec{C B} | - \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最大值；

(2)、若 $5 b^{2} - 3 a^{2} = 6$ ，求 $c$ 的最小值.

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30. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，这个公式常称为海伦公式.其中， $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ .我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，这个公式常称为“三斜求积”公式.

(1)、利用以上信息，证明三角形的面积公式 $S = \frac{1}{2} a c s i n B$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $a + c = 8$ ， $t a n \frac{B}{2} = \frac{s i n A}{2 - c o s A}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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